Номер 14.31, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.31, страница 119.

Условие.

14.31. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-1} > -1$;

2) $\sqrt{x-1} < -1$;

3) $\sqrt{x-1} \le -\sqrt{x-1}$.

Решение.

1) $\sqrt{x-1} > -1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0$

$x \ge 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-1}$ является неотрицательной величиной, то есть $\sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Неравенство $\sqrt{x-1} > -1$ сравнивает неотрицательное число (левая часть) с отрицательным числом (правая часть). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, данное неравенство верно для всех значений $x$, при которых выражение $\sqrt{x-1}$ имеет смысл.

Решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2) $\sqrt{x-1} < -1$

Область допустимых значений (ОДЗ) аналогична предыдущему пункту: $x \ge 1$.

Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Неравенство $\sqrt{x-1} < -1$ требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа $-1$. Это невозможно ни при каких значениях $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x-1} \le -\sqrt{x-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x-1 \ge 0$

$x \ge 1$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1} \le 0$

$2\sqrt{x-1} \le 0$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{x-1} \le 0$

Мы знаем, что по определению $\sqrt{x-1} \ge 0$. Таким образом, неравенство $\sqrt{x-1} \le 0$ может выполняться только в единственном случае, когда левая часть равна нулю:

$\sqrt{x-1} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x-1 = 0$

$x = 1$

Полученное значение $x=1$ принадлежит области допустимых значений ($x \ge 1$).

Ответ: $x = 1$.