Номер 14.37, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.37, страница 119.

Условие.

14.37. При каких значениях $a$ и $b$ имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{ab}$;

2) $\sqrt{-ab}$;

3) $\sqrt{ab^2}$;

4) $\sqrt{a^2b^2}$;

5) $\sqrt{-a^2b}?$

Решение.

Основное правило, которым мы будем руководствоваться: арифметический квадратный корень $\sqrt{X}$ имеет смысл (определен в области действительных чисел) тогда и только тогда, когда подкоренное выражение $X$ неотрицательно, то есть $X \ge 0$.

1) Выражение $\sqrt{ab}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ab \ge 0$.

Произведение двух чисел неотрицательно, если оба числа имеют одинаковый знак или хотя бы одно из них равно нулю. Это можно разбить на два случая:

1. Оба множителя неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
2. Оба множителя неположительны: $a \le 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

2) Выражение $\sqrt{-ab}$ имеет смысл, если $-ab \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ab \le 0$.

Произведение двух чисел неположительно, если числа имеют разные знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Это можно разбить на два случая:

1. Первый множитель неотрицателен, а второй неположителен: $a \ge 0$ и $b \le 0$.
2. Первый множитель неположителен, а второй неотрицателен: $a \le 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$ и $b \le 0$, или $a \le 0$ и $b \ge 0$.

3) Выражение $\sqrt{ab^2}$ имеет смысл, если $ab^2 \ge 0$.

Поскольку $b^2$ всегда является неотрицательным числом ($b^2 \ge 0$) для любого действительного $b$, знак всего произведения зависит от знака множителя $a$.

Если $b \ne 0$, то $b^2 > 0$. Разделив неравенство на $b^2$, получим $a \ge 0$.

Если $b = 0$, то $ab^2 = a \cdot 0 = 0$, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется для любого значения $a$.

Условие $a \ge 0$ включает в себя случай, когда $b=0$. Следовательно, выражение имеет смысл при $a \ge 0$ и любом действительном значении $b$.

Ответ: $a \ge 0$, $b$ — любое число.

4) Выражение $\sqrt{a^2b^2}$ имеет смысл, если $a^2b^2 \ge 0$.

Подкоренное выражение можно представить в виде $(ab)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство $(ab)^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые числа.

5) Выражение $\sqrt{-a^2b}$ имеет смысл, если $-a^2b \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $a^2b \le 0$.

Поскольку $a^2$ всегда является неотрицательным числом ($a^2 \ge 0$) для любого действительного $a$, знак всего произведения зависит от знака множителя $b$.

Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$. Разделив неравенство на $a^2$, получим $b \le 0$.

Если $a = 0$, то $a^2b = 0 \cdot b = 0$, и неравенство $0 \le 0$ выполняется для любого значения $b$.

Условие $b \le 0$ включает в себя случай, когда $a=0$. Следовательно, выражение имеет смысл при $b \le 0$ и любом действительном значении $a$.

Ответ: $b \le 0$, $a$ — любое число.