Номер 14.41, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.41, страница 120.

Условие.

14.41. Постройте график функции $y=\left(\sqrt{(x+1)^2x}\right)^2 - x^3 - x^2 - x.$

Решение.

Для построения графика функции $y = (\sqrt{(x+1)^2x})^2 - x^3 - x^2 - x$ сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(x+1)^2x \ge 0$

Поскольку множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен (так как это квадрат), знак всего выражения зависит от знака множителя $x$. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Также необходимо рассмотреть случай, когда $(x+1)^2 = 0$, то есть при $x = -1$. В этом случае подкоренное выражение равно $((-1)+1)^2(-1) = 0 \cdot (-1) = 0$, что является допустимым значением.

Таким образом, область определения функции состоит из точки $x = -1$ и промежутка $[0, +\infty)$.

$D(y) = \{-1\} \cup [0, +\infty)$

2. Упрощение функции.

На всей области определения функции подкоренное выражение неотрицательно, поэтому можно применить тождество $(\sqrt{a})^2 = a$.

$y = (x+1)^2x - x^3 - x^2 - x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = (x^2 + 2x + 1)x - x^3 - x^2 - x$

$y = x^3 + 2x^2 + x - x^3 - x^2 - x$

$y = (x^3 - x^3) + (2x^2 - x^2) + (x - x)$

$y = x^2$

Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = x^2$ на ее области определения $D(y) = \{-1\} \cup [0, +\infty)$.

3. Построение графика.

График будет состоять из двух частей:

1. Значение функции в изолированной точке $x = -1$.

$y(-1) = (-1)^2 = 1$. Это точка с координатами $(-1, 1)$.

2. График функции $y = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$.

Это правая ветвь параболы $y = x^2$ с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

Для построения этой части графика найдем несколько точек:

• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$, точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$, точка $(1, 1)$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$, точка $(2, 4)$

Соединив эти точки плавной линией, получим искомую ветвь параболы.

Ответ:

График функции представляет собой изолированную точку с координатами $(-1, 1)$ и правую ветвь параболы $y = x^2$, выходящую из начала координат.