Номер 14.46, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.46, страница 120.

Условие.

14.46. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(\sqrt{x}-4)(x-a)=0$ имеет только один корень?

Решение.

Исходное уравнение $(\sqrt{x}-4)(x-a)=0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Уравнение будет верным, если хотя бы один из множителей равен нулю. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

ОДЗ определяется наличием арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$, подкоренное выражение которого должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Уравнение равносильно системе, состоящей из совокупности двух уравнений и условия ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \sqrt{x}-4=0 \\ x-a=0 \end{array} \right. \\ x \ge 0 \end{array} \right.$

Рассмотрим каждое уравнение совокупности отдельно.

1) $\sqrt{x}-4=0$

$\sqrt{x}=4$

Возведем обе части в квадрат:

$x_1=16$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $16 \ge 0$. Следовательно, $x=16$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2) $x-a=0$

$x_2=a$

Этот потенциальный корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть должно выполняться условие $a \ge 0$.

Теперь найдем значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет ровно один корень. Так как $x=16$ всегда является корнем, для наличия единственного корня необходимо, чтобы второй корень $x=a$ либо не существовал (не удовлетворял ОДЗ), либо совпадал с первым корнем $x=16$.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Второй корень $x=a$ не удовлетворяет ОДЗ.

Это происходит, когда $a < 0$. В этом случае уравнение $x-a=0$ не имеет корней на области допустимых значений $x \ge 0$. Таким образом, при $a < 0$ исходное уравнение имеет только один корень: $x=16$.

Случай 2: Второй корень $x=a$ совпадает с первым корнем $x=16$.

Это происходит, когда $a = 16$. В этом случае оба уравнения совокупности дают один и тот же корень $x=16$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$). Следовательно, при $a=16$ исходное уравнение имеет ровно один корень: $x=16$.

Если же $a \ge 0$ и $a \ne 16$, то уравнение будет иметь два различных корня: $x_1=16$ и $x_2=a$, так как оба удовлетворяют ОДЗ.

Объединяя результаты анализа двух случаев, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a < 0$ или при $a=16$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \{16\}$.