Номер 14.45, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.45, страница 120.

Условие.

14.45. При каких значениях параметра $a$ имеет единственное решение уравнение:

1) $(x+a)(\sqrt{x}-3)=0;$

2) $(1-\frac{1}{x})(\sqrt{x-a})=0;$

3) $(1-\frac{1}{x})\sqrt{x-a}=0?$

Решение.

1) $(x+a)(\sqrt{x}-3)=0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:
$x+a=0$ или $\sqrt{x}-3=0$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x}-3=0 \implies \sqrt{x}=3 \implies x=9$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$), поэтому он является решением уравнения при любом значении параметра $a$.

Решим первое уравнение: $x+a=0 \implies x=-a$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.

Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:
1. Если корень $x=-a$ не удовлетворяет ОДЗ. Это происходит, когда $a > 0$. В этом случае $-a < 0$, и единственным решением остается $x=9$.
2. Если корень $x=-a$ существует (т.е. $a \le 0$) и совпадает с корнем $x=9$. Приравниваем корни: $-a=9 \implies a=-9$. При $a=-9$ условие $a \le 0$ выполнено, и оба уравнения дают один и тот же корень $x=9$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a > 0$ или при $a=-9$.

Ответ: $a \in \{-9\} \cup (0; +\infty)$.

2) $(1-\frac{1}{x})(\sqrt{x}-a)=0$

Определим ОДЗ. Наличие $\sqrt{x}$ требует $x \ge 0$. Наличие дроби $\frac{1}{x}$ требует $x \ne 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:
$1-\frac{1}{x}=0$ или $\sqrt{x}-a=0$.

Из первого уравнения получаем $1=\frac{1}{x} \implies x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), поэтому $x=1$ является решением при любом $a$.

Рассмотрим второе уравнение: $\sqrt{x}-a=0 \implies \sqrt{x}=a$.
- Если $a < 0$, уравнение $\sqrt{x}=a$ не имеет действительных корней, так как квадратный корень не может быть отрицательным. В этом случае единственным решением исходного уравнения будет $x=1$.
- Если $a = 0$, уравнение принимает вид $\sqrt{x}=0$, откуда $x=0$. Этот корень не входит в ОДЗ ($x > 0$). Следовательно, при $a=0$ единственным решением также является $x=1$.
- Если $a > 0$, то $\sqrt{x}=a \implies x=a^2$. Так как $a>0$, то $a^2>0$, и этот корень входит в ОДЗ. В этом случае у нас есть два корня: $x_1=1$ и $x_2=a^2$.

Для того чтобы при $a > 0$ решение было единственным, корни должны совпасть: $x_1=x_2$.
$1 = a^2 \implies a = \pm 1$. Так как мы рассматриваем случай $a>0$, подходит только $a=1$. При $a=1$ оба множителя дают один и тот же корень $x=1$.

Итак, единственное решение существует, если $a \le 0$ или если $a=1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \{1\}$.

3) $(1-\frac{1}{x})\sqrt{x-a}=0$

ОДЗ определяется двумя условиями: $x-a \ge 0$ (подкоренное выражение) и $x \ne 0$ (знаменатель дроби). Таким образом, ОДЗ: $x \ge a$ и $x \ne 0$.

Уравнение распадается на два:
$1-\frac{1}{x}=0$ или $\sqrt{x-a}=0$.

Первое уравнение $1-\frac{1}{x}=0$ дает корень $x_1=1$.
Второе уравнение $\sqrt{x-a}=0$ дает корень $x_2=a$.

Теперь нужно проверить, при каких значениях $a$ эти корни входят в ОДЗ, и когда уравнение имеет ровно одно решение.
Корень $x_1=1$ является решением, если он удовлетворяет ОДЗ: $1 \ge a$ и $1 \ne 0$. Второе условие всегда верно. Значит, $x=1$ является корнем при $a \le 1$.
Корень $x_2=a$ является решением, если он удовлетворяет ОДЗ: $a \ge a$ и $a \ne 0$. Первое условие всегда верно. Значит, $x=a$ является корнем при $a \ne 0$.

Рассмотрим различные случаи для параметра $a$:
1. Если $a > 1$. Корень $x=1$ не подходит, так как не выполняется условие $a \le 1$. Корень $x=a$ подходит, так как $a \ne 0$. В этом случае есть только одно решение: $x=a$.
2. Если $a = 1$. Корень $x=1$ подходит ($1 \le 1$). Корень $x=a=1$ подходит ($1 \ne 0$). Корни совпадают. В этом случае есть одно решение: $x=1$.
3. Если $a < 1$ и $a \ne 0$. Корень $x=1$ подходит ($a \le 1$). Корень $x=a$ подходит ($a \ne 0$). Корни $1$ и $a$ различны. В этом случае два решения.
4. Если $a = 0$. ОДЗ: $x > 0$. Корень $x=1$ подходит ($0 \le 1$). Корень $x=a=0$ не подходит, так как по ОДЗ $x \ne 0$. В этом случае есть одно решение: $x=1$.

Объединяя случаи, где есть ровно одно решение (случаи 1, 2 и 4), получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a=0$ или при $a \ge 1$.

Ответ: $a \in \{0\} \cup [1; +\infty)$.