Номер 15.1, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.1, страница 126.

Условие.

15.1. Какое из высказываний является истинным?

1) $0 \in \mathbf{N};$ 4) $-2,3 \in \mathbf{N};$ 7) $ - \frac{3}{7} \notin \mathbf{R};$ 10) $\sqrt{9} \in \mathbf{Z};$

2) $0 \notin \mathbf{Z};$ 5) $-2,3 \in \mathbf{R};$ 8) $\sqrt{7} \notin \mathbf{R};$ 11) $\sqrt{9} \in \mathbf{R};$

3) $0 \in \mathbf{R};$ 6) $ - \frac{3}{7} \in \mathbf{Q};$ 9) $\sqrt{9} \in \mathbf{Q};$ 12) $ \frac{\pi}{3} \in \mathbf{R}? $

Решение.

1) $0 \in N$
Множество натуральных чисел $N$ — это множество чисел, используемых при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число 0 не входит в это множество. Следовательно, высказывание $0 \in N$ является ложным.
Ответ: ложно.

2) $0 \notin Z$
Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, их противоположности и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число 0 является целым числом ($0 \in Z$). Следовательно, высказывание $0 \notin Z$ является ложным.
Ответ: ложно.

3) $0 \in R$
Множество действительных (вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$), и $0 \in Z$, то 0 также принадлежит множеству действительных чисел. Следовательно, высказывание $0 \in R$ является истинным.
Ответ: истинно.

4) $-2,3 \in N$
Натуральные числа — это целые положительные числа: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $-2,3$ не является ни целым, ни положительным. Следовательно, высказывание $-2,3 \in N$ является ложным.
Ответ: ложно.

5) $-2,3 \in R$
Число $-2,3$ является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби $-\frac{23}{10}$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа. Следовательно, высказывание $-2,3 \in R$ является истинным.
Ответ: истинно.

6) $-\frac{3}{7} \in Q$
Множество рациональных чисел $Q$ по определению состоит из чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$ и $q \in N$. Число $-\frac{3}{7}$ представлено в таком виде, где $p=-3$ и $q=7$. Следовательно, высказывание $-\frac{3}{7} \in Q$ является истинным.
Ответ: истинно.

7) $-\frac{3}{7} \notin R$
Множество действительных чисел $R$ содержит в себе множество рациональных чисел $Q$. Поскольку $-\frac{3}{7}$ является рациональным числом, оно также является и действительным числом. Следовательно, высказывание $-\frac{3}{7} \notin R$ является ложным.
Ответ: ложно.

8) $\sqrt{7} \notin R$
Число $\sqrt{7}$ является иррациональным числом. Множество действительных чисел $R$ состоит из объединения множеств рациональных и иррациональных чисел. Следовательно, $\sqrt{7}$ является действительным числом ($ \sqrt{7} \in R $). Высказывание $\sqrt{7} \notin R$ является ложным.
Ответ: ложно.

9) $\sqrt{9} \in Q$
Сначала вычислим значение корня: $\sqrt{9} = 3$. Число 3 является целым числом. Любое целое число можно представить в виде дроби (например, $3 = \frac{3}{1}$), следовательно, 3 является рациональным числом. Высказывание $\sqrt{9} \in Q$ является истинным.
Ответ: истинно.

10) $\sqrt{9} \in Z$
Поскольку $\sqrt{9} = 3$, а число 3 входит в множество целых чисел $Z = \{..., -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$, то высказывание $\sqrt{9} \in Z$ является истинным.
Ответ: истинно.

11) $\sqrt{9} \in R$
Так как $\sqrt{9} = 3$, а число 3 является целым числом и множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$), то высказывание $\sqrt{9} \in R$ является истинным.
Ответ: истинно.

12) $\frac{\pi}{3} \in R$
Число $\pi$ (пи) является иррациональным числом. Результат деления иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае 3) также является иррациональным числом. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все иррациональные числа. Следовательно, $\frac{\pi}{3}$ является действительным числом, и высказывание $\frac{\pi}{3} \in R$ является истинным.
Ответ: истинно.