Номер 15.3, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.3, страница 127.

Условие.

15.3. Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных:

1) $0,\overline{3}$;

2) $0,4\overline{32}$;

3) $5,25255255525...$ (количество пятёрок между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?

Решение.

Для определения, является ли бесконечная дробь рациональным или иррациональным числом, необходимо проанализировать ее десятичную запись. Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись. Иррациональные числа имеют бесконечную непериодическую десятичную запись.

1) 0,(3)
Данная дробь является бесконечной периодической. Запись $0,(3)$ означает $0,3333...$, где цифра 3 бесконечно повторяется (является периодом). Любая бесконечная периодическая дробь является рациональным числом. Чтобы это доказать, представим ее в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(3)$.
Тогда $10x = 3,(3)$.
Вычтем первое уравнение из второго:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Так как число можно представить в виде обыкновенной дроби, оно является рациональным.
Ответ: Рациональное число.

2) 0,4(32)
Это число, $0,4323232...$, также является бесконечной периодической десятичной дробью. Здесь есть непериодическая часть «4» и повторяющийся период «32». Такие дроби также всегда являются рациональными. Преобразуем ее в обыкновенную дробь.
Пусть $x = 0,4(32)$.
Умножим на 10, чтобы целая часть содержала непериодическую часть: $10x = 4,(32)$.
Умножим на 1000, чтобы сдвинуть дробь еще на один период: $1000x = 432,(32)$.
Теперь вычтем одно из другого:
$1000x - 10x = 432,3232... - 4,3232...$
$990x = 428$
$x = \frac{428}{990} = \frac{214}{495}$
Число представлено в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно рациональное.
Ответ: Рациональное число.

3) 5,25255255525...
В этом числе десятичная часть является бесконечной. Проанализируем последовательность цифр: за первой двойкой следует одна пятерка, за второй — две пятерки, за третьей — три, и так далее. Количество пятерок между соседними двойками последовательно увеличивается на 1.
Эта последовательность цифр не имеет повторяющегося блока (периода). Поскольку данная бесконечная десятичная дробь является непериодической, она представляет собой иррациональное число.
Ответ: Иррациональное число.