Номер 15.10, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.10, страница 127.

Условие.

15.10. Запишите в порядке возрастания числа 1,57; $\frac{\pi}{2}$; 1,(56); 1,(572).

Решение.

Для того чтобы записать данные числа в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду — десятичной дроби — и сравнить.

Рассмотрим каждое число:

1,57 — это конечная десятичная дробь. Для удобства сравнения представим её как $1,570000...$

$\frac{\pi}{2}$ — иррациональное число. Возьмём приближённое значение $\pi \approx 3,14159...$ и разделим на 2: $\frac{\pi}{2} \approx 1,570795...$

1,(56) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая записывается как $1,565656...$

1,(572) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая записывается как $1,572572...$

Теперь сравним полученные десятичные дроби, выписав их друг под другом:
$1,565656...$
$1,570000...$
$1,570795...$
$1,572572...$

Сравнивая числа поразрядно, начиная слева направо:
1. Целая часть у всех чисел одинаковая (1).
2. Цифра в разряде десятых у всех чисел одинаковая (5).
3. Цифра в разряде сотых у числа $1,(56)$ равна 6, а у остальных — 7. Следовательно, $1,(56)$ — наименьшее число.
4. Сравним оставшиеся числа: $1,57$; $\frac{\pi}{2}$; $1,(572)$. Цифра в разряде тысячных у $1,57$ и $\frac{\pi}{2}$ равна 0, а у $1,(572)$ равна 2. Следовательно, $1,(572)$ — наибольшее из этих трёх чисел (и, соответственно, всех четырех).
5. Осталось сравнить $1,57 = 1,5700...$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5707...$ Цифра в разряде десятитысячных у $1,57$ равна 0, а у $\frac{\pi}{2}$ — 7. Так как $0 < 7$, то $1,57 < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, получаем следующую последовательность в порядке возрастания: $1,(56) < 1,57 < \frac{\pi}{2} < 1,(572)$.

Ответ: $1,(56)$; $1,57$; $\frac{\pi}{2}$; $1,(572)$.