Номер 15.17, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.17, страница 128.

Условие.

15.17. Докажите, что число $ \sqrt{3} $ является иррациональным.

Решение.

15.17.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что число $\sqrt{3}$ является рациональным.

По определению, рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, и числа $p$ и $q$ являются взаимно простыми (т.е. их наибольший общий делитель равен 1).

Итак, пусть $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$.

Возведём обе части этого равенства в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$

$3 = \frac{p^2}{q^2}$

Отсюда следует, что $p^2 = 3q^2$.

Из этого равенства видно, что $p^2$ делится на 3. Так как 3 — простое число, то если квадрат числа делится на 3, то и само число делится на 3. Следовательно, $p$ делится на 3.

Это означает, что $p$ можно представить в виде $p = 3k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим $p = 3k$ в равенство $p^2 = 3q^2$:

$(3k)^2 = 3q^2$

$9k^2 = 3q^2$

Разделим обе части на 3:

$3k^2 = q^2$

Из последнего равенства следует, что $q^2$ делится на 3. По той же причине, что и для $p$, это означает, что и само число $q$ делится на 3.

Мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ делятся на 3. Но это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (т.е. $p$ и $q$ взаимно простые).

Поскольку наше исходное предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не является рациональным, а значит, оно иррационально.

Ответ: Доказано, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.