Номер 15.22, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.22, страница 128.

Условие.

15.22. Число $\sqrt{2}-1$ является корнем уравнения $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ — рациональные числа. Докажите, что число $-\sqrt{2}-1$ также является корнем этого уравнения.

Решение.

Поскольку число $x_1 = \sqrt{2} - 1$ является корнем уравнения $x^2 + px + q = 0$, то при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство.

Подставим $x = \sqrt{2} - 1$ в уравнение:

$(\sqrt{2} - 1)^2 + p(\sqrt{2} - 1) + q = 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$((\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) + p\sqrt{2} - p + q = 0$

$(2 - 2\sqrt{2} + 1) + p\sqrt{2} - p + q = 0$

$3 - 2\sqrt{2} + p\sqrt{2} - p + q = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы отделить рациональные члены от иррациональных:

$(3 - p + q) + (p - 2)\sqrt{2} = 0$

По условию задачи, коэффициенты $p$ и $q$ являются рациональными числами. Это означает, что выражения $(3 - p + q)$ и $(p - 2)$ также являются рациональными. Равенство вида $A + B\sqrt{2} = 0$, где $A$ и $B$ — рациональные числа, а $\sqrt{2}$ — иррациональное число, выполняется только в том случае, когда $A = 0$ и $B = 0$.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 3 - p + q = 0 \\ p - 2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим значение $p$:

$p = 2$

Подставим найденное значение $p$ в первое уравнение, чтобы найти $q$:

$3 - 2 + q = 0$

$1 + q = 0$

$q = -1$

Следовательно, исходное уравнение имеет вид: $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Теперь необходимо доказать, что число $x_2 = -\sqrt{2} - 1$ также является корнем этого уравнения. Для этого подставим $x_2$ в левую часть уравнения и проверим, будет ли она равна нулю:

$(-\sqrt{2} - 1)^2 + 2(-\sqrt{2} - 1) - 1$

Выполним вычисления:

$((-1)(\sqrt{2} + 1))^2 + 2(-\sqrt{2} - 1) - 1 = (\sqrt{2} + 1)^2 - 2\sqrt{2} - 2 - 1 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 2\sqrt{2} - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 3 = 0$

Так как в результате подстановки мы получили $0$, то равенство $0=0$ является верным. Это доказывает, что число $-\sqrt{2} - 1$ также является корнем данного уравнения.

Ответ: Утверждение доказано.