Номер 15.27, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.27, страница 128.

Условие.

15.27. Плоскость покрыта бесконечной квадратной сеткой. Можно ли через некоторый узел провести прямую, которая не проходит больше ни через какой-либо другой узел сетки?

Решение.

Да, можно. Для этого необходимо провести прямую с иррациональным угловым коэффициентом.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Расположим ее так, чтобы узлы бесконечной квадратной сетки имели целочисленные координаты $(m, n)$, где $m, n \in \mathbb{Z}$.

Пусть искомая прямая проходит через некоторый узел. Для простоты рассуждений выберем в качестве этого узла начало координат — точку $O(0, 0)$. Уравнение любой прямой, проходящей через начало координат (за исключением вертикальной оси), можно записать в виде $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент прямой.

Теперь проанализируем, каким должен быть коэффициент $k$, чтобы прямая не проходила через другие узлы сетки.

1. Если коэффициент $k$ — рациональное число.

Пусть $k$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $k = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа, и $q \neq 0$. Уравнение прямой принимает вид $y = \frac{p}{q}x$.

Эта прямая, помимо начала координат $(0, 0)$, также проходит через точку с координатами $(q, p)$. Поскольку $p$ и $q$ — целые числа, точка $(q, p)$ является узлом сетки. Так как дробь несократимая, $q \neq 0$, и если $p \neq 0$, то точка $(q, p)$ отлична от $(0, 0)$. Если же $p=0$, то $k=0$ и прямая $y=0$ (ось абсцисс) проходит через все узлы вида $(m, 0)$, то есть через бесконечное число узлов. Аналогично, вертикальная прямая $x=0$ (ось ординат) проходит через все узлы $(0, n)$.

Таким образом, если угловой коэффициент прямой рационален (или бесконечен), то прямая, проходящая через один узел, обязательно пройдет через бесконечное множество других узлов сетки.

2. Если коэффициент $k$ — иррациональное число.

Пусть $k$ — иррациональное число, например, $k = \sqrt{2}$. Уравнение прямой в этом случае будет $y = \sqrt{2}x$.

Эта прямая проходит через узел $(0, 0)$. Предположим, что она проходит через какой-либо другой узел сетки с целочисленными координатами $(m, n)$, где $m$ и $n$ не равны нулю одновременно.

Тогда координаты этого узла должны удовлетворять уравнению прямой:

$n = \sqrt{2}m$

Если $m \neq 0$, то из этого равенства следует, что $\sqrt{2} = \frac{n}{m}$. Слева стоит иррациональное число, а справа — рациональное (так как $n$ и $m$ — целые, $m \neq 0$). Это является противоречием. Значит, на прямой не может быть узлов с $m \neq 0$.

Если же $m = 0$, то из уравнения $n = \sqrt{2} \cdot 0$ получаем $n = 0$. Это дает нам точку $(0, 0)$, то есть тот узел, через который мы изначально проводили прямую.

Следовательно, прямая $y = \sqrt{2}x$ проходит только через один узел сетки — $(0, 0)$. Этот же вывод справедлив для любой прямой, проходящей через узел с целочисленными координатами и имеющей иррациональный угловой коэффициент.

Ответ: Да, можно. Для этого достаточно через любой узел сетки провести прямую, угловой коэффициент которой является иррациональным числом.