Номер 16.4, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.4, страница 137.

Условие.

16.4. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1}$;

3) $\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3}$.

Решение.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$ воспользуемся свойством произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применяя это свойство, объединяем подкоренные выражения:
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3}$
Вычисляем произведение под корнем:
$27 \cdot 3 = 81$
Теперь извлекаем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{81} = 9$
Ответ: 9

2) Для выражения $\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1}$ также используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1} = \sqrt{10 \cdot 12,1}$
Умножим числа под знаком корня:
$10 \cdot 12,1 = 121$
Теперь найдем значение корня:
$\sqrt{121} = 11$
Ответ: 11

3) Для выражения $\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3}$ применим то же свойство произведения корней, чтобы объединить все множители под одним корнем:
$\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3} = \sqrt{(5 \cdot 2^3) \cdot (5^3 \cdot 2^3)}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями под корнем, используя коммутативное свойство умножения:
$\sqrt{(5 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 2^3)}$
Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим выражение:
$5 \cdot 5^3 = 5^1 \cdot 5^3 = 5^{1+3} = 5^4$
$2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
Получаем выражение под корнем: $\sqrt{5^4 \cdot 2^6}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и свойством корня из степени $\sqrt{x^{2n}} = x^n$ (для $x \ge 0$):
$\sqrt{5^4 \cdot 2^6} = \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^6} = 5^{4/2} \cdot 2^{6/2} = 5^2 \cdot 2^3$
Вычислим результат:
$5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200$
Ответ: 200