Номер 16.2, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.2, страница 137.

Условие.

16.2. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt{16 \cdot 0,25}$;

2) $\sqrt{0,36 \cdot 1,21}$;

3) $\sqrt{5^2 \cdot 3^6}$;

4) $\sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600}$;

5) $\sqrt{13 \frac{4}{9}}$;

6) $\sqrt{1 \frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}}$?

Решение.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{16 \cdot 0,25}$ воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{16 \cdot 0,25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,25}$. Вычисляем каждый корень отдельно: $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{0,25} = 0,5$. Перемножаем полученные значения: $4 \cdot 0,5 = 2$. Ответ: 2.

2) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Таким образом, $\sqrt{0,36 \cdot 1,21} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{1,21}$. Находим значения корней: $\sqrt{0,36} = 0,6$ (поскольку $0,6^2 = 0,36$) и $\sqrt{1,21} = 1,1$ (поскольку $1,1^2 = 1,21$). Выполняем умножение: $0,6 \cdot 1,1 = 0,66$. Ответ: 0,66.

3) Применяем свойство корня из произведения: $\sqrt{5^2 \cdot 3^6} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3^6}$. Далее используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ (для $a \ge 0$). Получаем $\sqrt{5^2} = 5^1 = 5$ и $\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$. Перемножаем результаты: $5 \cdot 27 = 135$. Ответ: 135.

4) Раскладываем корень из произведения на произведение корней: $\sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{1600}$. Вычисляем каждый корень по отдельности: $\sqrt{2,25} = 1,5$, $\sqrt{0,04} = 0,2$ и $\sqrt{1600} = 40$. Перемножаем полученные значения: $1,5 \cdot 0,2 \cdot 40 = 0,3 \cdot 40 = 12$. Ответ: 12.

5) Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь: $13\frac{4}{9} = \frac{13 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{117 + 4}{9} = \frac{121}{9}$. Теперь извлекаем корень из дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $\sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$. Ответ: $3\frac{2}{3}$.

6) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{7}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$. Выражение под корнем принимает вид $\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}}$. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}}$. Теперь извлечем корень из каждой дроби: $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$ и $\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$. Наконец, перемножим полученные дроби: $\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$. Ответ: $\frac{8}{15}$.