Номер 16.3, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.3, страница 137.

Условие.

16.3. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{50};$

2) $\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000};$

3) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26};$

4) $\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{1\frac{2}{3}};$

5) $\sqrt{\frac{2}{11}} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{11}};$

6) $\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3}.$

Решение.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}$ воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{18} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900}$.
Так как $30^2 = 900$, то $\sqrt{900} = 30$.
Ответ: $30$.

2) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для выражения $\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000}$.
$\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000} = \sqrt{0,009 \cdot 1000} = \sqrt{9}$.
$\sqrt{9} = 3$.
Ответ: $3$.

3) Для выражения $\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26}$ применим то же свойство: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{13 \cdot 2} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{26} \cdot \sqrt{26}$.
Произведение корня на самого себя равно подкоренному выражению: $\sqrt{26} \cdot \sqrt{26} = (\sqrt{26})^2 = 26$.
Ответ: $26$.

4) В выражении $\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{1\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби.
$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Теперь перемножим корни: $\sqrt{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4}$.
$\sqrt{4} = 2$.
Ответ: $2$.

5) Найдем значение выражения $\sqrt{\frac{2}{11}} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{11}}$.
Объединим все множители под одним корнем: $\sqrt{\frac{2}{11} \cdot 8 \cdot \frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8 \cdot 1}{11 \cdot 11}} = \sqrt{\frac{16}{121}}$.
Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{121}} = \frac{4}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{11}$.

6) Для выражения $\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3}$ используем свойство произведения корней.
$\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot (2^5 \cdot 3^3)} = \sqrt{2^3 \cdot 2^5 \cdot 3^1 \cdot 3^3}$.
Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $\sqrt{2^{3+5} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4}$.
Далее, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{a^{2n}} = a^n$: $\sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2$.
Вычисляем значение: $2^4 = 16$, $3^2 = 9$.
$16 \cdot 9 = 144$.
Ответ: $144$.