Вопросы?, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - страница 136.

Условие.

1. Какому выражению тождественно равно выражение $\sqrt{a^2}$?

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$. Сравните значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$.

6. Известно, что $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$. Сравните числа $a_1$ и $a_2$.

Решение.

1. Какому выражению тождественно равно выражение $\sqrt{a^2}$?
По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $x$ — это такое неотрицательное число $y$, что $y^2 = x$. Выражение $a^2$ является неотрицательным при любом действительном значении $a$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $a$ — неотрицательное число, и его квадрат равен $a^2$. Следовательно, $\sqrt{a^2} = a$.
2. Если $a < 0$, то $a$ — отрицательное число. В этом случае $-a$ будет положительным числом, и его квадрат $(-a)^2 = a^2$. Следовательно, $\sqrt{a^2} = -a$.
Эти два случая соответствуют определению модуля (абсолютной величины) числа $a$:
$|a| = a$, если $a \ge 0$
$|a| = -a$, если $a < 0$
Таким образом, выражение $\sqrt{a^2}$ тождественно равно модулю числа $a$.
Ответ: $|a|$.

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.
Для любого числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо равенство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Это следует из того, что $a^{2k} = (a^k)^2$, а корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения, как показано в предыдущем пункте.
Ответ: Для любого числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо равенство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.
Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих сомножителей.
Формулой это записывается так: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Ответ: Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.
Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Формулой это записывается так: если $a \ge 0$ и $b > 0$, то $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Ответ: Если $a \ge 0$ и $b > 0$, то $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$. Сравните значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$.
Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Это означает, что для любых двух неотрицательных чисел, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Поскольку нам дано, что $a_1$ и $a_2$ неотрицательны и $a_1 > a_2$, то из свойства возрастания функции квадратного корня следует, что $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.
Доказательство от противного: предположим, что $\sqrt{a_1} \le \sqrt{a_2}$. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{a_1})^2 \le (\sqrt{a_2})^2$, что приводит к $a_1 \le a_2$. Это противоречит исходному условию $a_1 > a_2$. Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.

6. Известно, что $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$. Сравните числа $a_1$ и $a_2$.
Дано неравенство $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными, то есть $a_1 \ge 0$ и $a_2 \ge 0$.
Поскольку обе части неравенства $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:
$(\sqrt{a_1})^2 > (\sqrt{a_2})^2$
По определению квадратного корня, $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого $x \ge 0$.
Следовательно, получаем $a_1 > a_2$.
Ответ: $a_1 > a_2$.