Номер 15.23, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.23, страница 128.

Условие.

15.23. Числа $a, b$ и $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ — рациональные. Докажите, что $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ — рациональные числа.

Решение.

Пусть по условию задачи числа $a$, $b$ и $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ являются рациональными. Обозначим $r = \sqrt{a} + \sqrt{b}$, где $r$ — рациональное число ($r \in \mathbb{Q}$). Нам необходимо доказать, что числа $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ также являются рациональными.

Для доказательства рассмотрим два возможных случая для значения $r$.

Случай 1: $r = 0$.
В этом случае $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 0$. Поскольку по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$, сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Отсюда следует, что $\sqrt{a} = 0$ и $\sqrt{b} = 0$. Число 0 является рациональным, поэтому в этом случае утверждение доказано.

Случай 2: $r \neq 0$.
Из равенства $r = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ выразим один из корней, например, $\sqrt{a}$:
$\sqrt{a} = r - \sqrt{b}$
Возведем обе части полученного равенства в квадрат:
$(\sqrt{a})^2 = (r - \sqrt{b})^2$
$a = r^2 - 2r\sqrt{b} + b$
Теперь из этого уравнения выразим слагаемое, содержащее $\sqrt{b}$:
$2r\sqrt{b} = r^2 + b - a$
Так как мы рассматриваем случай, когда $r \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $2r$:
$\sqrt{b} = \frac{r^2 + b - a}{2r}$

Проанализируем выражение в правой части последнего равенства. По условию, числа $a$, $b$ и $r$ являются рациональными. Операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) над рациональными числами всегда приводят к рациональному результату.
Числитель $r^2 + b - a$ является рациональным числом, так как $r^2$ рационально, и вся сумма/разность рациональна.
Знаменатель $2r$ также является рациональным числом и, по условию этого случая, не равен нулю.
Следовательно, вся дробь $\frac{r^2 + b - a}{2r}$ является рациональным числом. Это означает, что $\sqrt{b}$ — рациональное число.

Теперь, когда мы доказали, что $\sqrt{b}$ рационально, вернемся к равенству $r = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Выразим из него $\sqrt{a}$:
$\sqrt{a} = r - \sqrt{b}$
Правая часть этого равенства является разностью двух рациональных чисел: $r$ (рационально по условию) и $\sqrt{b}$ (рационально по доказанному). Разность двух рациональных чисел всегда рациональна. Следовательно, $\sqrt{a}$ также является рациональным числом.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях ($\_r=0\_$ и $\_r \neq 0\_$) мы доказали, что числа $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются рациональными.

Ответ: Утверждение доказано.