Номер 15.18, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.18, страница 128.

Условие.

15.18. Докажите иррациональность числа 0,12345... (выписаны подряд все натуральные числа).

Решение.

15.18. Доказательство проведем от противного. Предположим, что данное число $A = 0,123456789101112...$ является рациональным.

Если число рационально, то его десятичная запись является периодической. Это означает, что существует некоторая последовательность цифр (период) длиной $L \ge 1$, которая начинает повторяться после некоторого знака с номером $N$. Так как число $A$ очевидно не является конечной десятичной дробью (поскольку в его записи бесконечно добавляются новые цифры), его период не может состоять только из нулей. Следовательно, в периоде должна быть хотя бы одна ненулевая цифра. Это, в свою очередь, означает, что в периодической части десятичной записи числа $A$ (то есть после $N$-го знака) не может встретиться блок из $L$ нулей подряд, иначе весь период состоял бы из нулей.

Рассмотрим способ построения числа $A$. В его десятичной записи последовательно выписаны все натуральные числа. Это означает, что в записи числа $A$ встречаются сколь угодно длинные последовательности нулей. Например, для любого натурального $k$ в последовательности натуральных чисел встретится число $10^k$, которое записывается как единица и $k$ нулей. Таким образом, в десятичной записи числа $A$ найдется блок из $k$ нулей подряд.

Теперь сведем наши рассуждения к противоречию. Пусть длина периода числа $A$ равна $L$. Выберем целое число $m$ настолько большое, чтобы число $10^m$ в последовательности натуральных чисел начиналось на позиции, большей чем $N$, и чтобы $m \ge L$. Такое $m$ всегда существует, так как количество цифр в записи чисел от 1 до $10^m-1$ неограниченно растет с ростом $m$. Тогда в десятичной записи числа $A$ после $N$-го знака встретится блок из $m$ нулей подряд (из числа $10^m$). Поскольку $m \ge L$, это означает, что в периодической части записи числа $A$ есть блок по крайней мере из $L$ нулей подряд.

Это противоречит нашему выводу о том, что в периодической части числа $A$ не может быть блока из $L$ нулей подряд. Следовательно, исходное предположение о рациональности числа $A$ неверно, и число является иррациональным.

Ответ: Иррациональность числа доказана.