Номер 15.20, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.20, страница 128.

Условие.

15.20. Пара чисел $(\sqrt{2}-1; -\sqrt{2})$ является решением уравнения $ax + by + c = 0$, где $a, b, c$ — рациональные числа. Докажите, что $a = b = c$.

Решение.

Поскольку пара чисел $(\sqrt{2} - 1; -\sqrt{2})$ является решением уравнения $ax + by + c = 0$, мы можем подставить эти значения вместо $x$ и $y$ в уравнение.

Подставляем $x = \sqrt{2} - 1$ и $y = -\sqrt{2}$:

$a(\sqrt{2} - 1) + b(-\sqrt{2}) + c = 0$

Раскроем скобки:

$a\sqrt{2} - a - b\sqrt{2} + c = 0$

Теперь сгруппируем члены, содержащие иррациональное число $\sqrt{2}$, и члены, не содержащие его (рациональные):

$(a\sqrt{2} - b\sqrt{2}) + (c - a) = 0$

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$(a - b)\sqrt{2} + (c - a) = 0$

По условию, $a, b$ и $c$ — рациональные числа. Это означает, что разности $(a - b)$ и $(c - a)$ также являются рациональными числами.

Мы получили равенство вида $R_1 \cdot \sqrt{2} + R_2 = 0$, где $R_1 = a - b$ и $R_2 = c - a$ — рациональные числа, а $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Такое равенство возможно только в одном случае: когда оба рациональных коэффициента равны нулю. Если бы $R_1 \neq 0$, то мы могли бы выразить $\sqrt{2} = -R_2/R_1$, что означало бы, что иррациональное число $\sqrt{2}$ равно рациональному числу $-R_2/R_1$, а это невозможно.

Следовательно, необходимо, чтобы:

$a - b = 0$

и

$c - a = 0$

Из первого уравнения получаем $a = b$.

Из второго уравнения получаем $c = a$.

Объединяя эти результаты, мы приходим к выводу, что $a = b = c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.