Номер 15.21, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.21, страница 128.

Условие.

15.21. Число $1 + \sqrt{2}$ является корнем уравнения $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ — рациональные числа. Найдите $p$ и $q$.

Решение.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Прямая подстановка

Поскольку число $x = 1 + \sqrt{2}$ является корнем уравнения $x^2 + px + q = 0$, оно должно удовлетворять этому уравнению. Подставим значение $x$ в уравнение:
$(1 + \sqrt{2})^2 + p(1 + \sqrt{2}) + q = 0$
Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат первый член:
$(1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$
Теперь подставим это обратно в уравнение:
$(3 + 2\sqrt{2}) + p(1 + \sqrt{2}) + q = 0$
$3 + 2\sqrt{2} + p + p\sqrt{2} + q = 0$
Сгруппируем слагаемые, содержащие рациональные и иррациональные части:
$(3 + p + q) + (2 + p)\sqrt{2} = 0$
По условию, $p$ и $q$ — рациональные числа. Следовательно, выражения $(3 + p + q)$ и $(2 + p)$ также являются рациональными числами. Равенство вида $A + B\sqrt{k} = 0$, где $A$ и $B$ — рациональные числа, а $\sqrt{k}$ — иррациональное, возможно только в том случае, если $A=0$ и $B=0$.
Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 3 + p + q = 0 \\ 2 + p = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения находим $p$:
$p = -2$
Подставляем найденное значение $p$ в первое уравнение:
$3 + (-2) + q = 0$
$1 + q = 0$
$q = -1$

Способ 2: Использование теоремы Виета

Существует теорема, согласно которой, если квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональный корень вида $a + \sqrt{b}$, то сопряженное ему число $a - \sqrt{b}$ также является корнем этого уравнения.
В нашем случае коэффициенты $p$ и $q$ рациональны, а один из корней $x_1 = 1 + \sqrt{2}$. Следовательно, второй корень $x_2$ должен быть равен $1 - \sqrt{2}$.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Найдем $p$:
$-p = x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$
$p = -2$
Найдем $q$:
$q = x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})$
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:
$q = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $p = -2, q = -1$.