Номер 15.24, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.24, страница 128.

Условие.

15.24. Докажите, что между любыми двумя рациональными числами найдутся как рациональное число, так и иррациональное число.

Решение.

Пусть даны два различных рациональных числа $a$ и $b$. Без ограничения общности, предположим, что $a < b$. Нам нужно доказать, что в интервале $(a, b)$ существует как рациональное, так и иррациональное число.

Рациональное число

Рассмотрим число $c$, равное среднему арифметическому чисел $a$ и $b$:

$c = \frac{a+b}{2}$

Докажем, что $c$ является рациональным числом и находится между $a$ и $b$.

1. Рациональность $c$. Поскольку $a$ и $b$ являются рациональными числами, их сумма $a+b$ также является рациональным числом. Деление рационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае на 2) дает в результате рациональное число. Следовательно, $c$ – рациональное число.

2. Положение $c$ относительно $a$ и $b$. Докажем, что $a < c < b$.

Так как по условию $a < b$, мы можем прибавить $a$ к обеим частям неравенства: $a+a < a+b$, что равносильно $2a < a+b$. Разделив обе части на 2, получаем $a < \frac{a+b}{2}$, то есть $a < c$.

Аналогично, прибавим $b$ к обеим частям исходного неравенства $a < b$: $a+b < b+b$, что равносильно $a+b < 2b$. Разделив обе части на 2, получаем $\frac{a+b}{2} < b$, то есть $c < b$.

Таким образом, мы показали, что $a < c < b$, и $c$ является рациональным числом.

Ответ: Между любыми двумя различными рациональными числами существует как минимум еще одно рациональное число (например, их среднее арифметическое).

Иррациональное число

Обозначим длину интервала между $a$ и $b$ как $h = b - a$. Поскольку $a$ и $b$ — различные рациональные числа, $h$ является положительным рациональным числом ($h > 0$).

Наша задача — найти иррациональное число $d$, которое удовлетворяет неравенству $a < d < b$.

Возьмем известное иррациональное число, например $\sqrt{2}$. Мы можем сделать это число сколь угодно малым, разделив его на достаточно большое натуральное число $n$. Выберем натуральное число $n$ таким образом, чтобы выполнялось неравенство $\frac{\sqrt{2}}{n} < h$. Такое $n$ всегда существует, например, можно взять любое целое $n > \frac{\sqrt{2}}{h}$.

При таком выборе $n$ мы имеем $0 < \frac{\sqrt{2}}{n} < h$.

Теперь рассмотрим число $d = a + \frac{\sqrt{2}}{n}$.

1. Иррациональность $d$. Число $a$ рационально, а число $\frac{\sqrt{2}}{n}$ иррационально (как произведение иррационального числа $\sqrt{2}$ и ненулевого рационального числа $\frac{1}{n}$). Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Если предположить, что $d$ рационально, то разность двух рациональных чисел $d-a$ также должна быть рациональной. Но $d-a = \frac{\sqrt{2}}{n}$, что является иррациональным числом. Это противоречие, следовательно, $d$ иррационально.

2. Положение $d$ относительно $a$ и $b$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $\frac{\sqrt{2}}{n} > 0$. Следовательно, $d = a + \frac{\sqrt{2}}{n} > a$.

С другой стороны, мы выбрали $n$ так, что $\frac{\sqrt{2}}{n} < h = b-a$. Поэтому $d = a + \frac{\sqrt{2}}{n} < a + (b-a) = b$.

Таким образом, мы нашли иррациональное число $d$, такое что $a < d < b$.

Ответ: Между любыми двумя различными рациональными числами существует как минимум одно иррациональное число.