Номер 15.25, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.25, страница 128.

Условие.

15.25. Существует ли такое число x, что значения выражений $x+\sqrt{2}$ и $x^3+\sqrt{2}$ — рациональные числа?

Решение.

Предположим, что такое число x существует. Тогда по условию задачи, существуют рациональные числа a и b такие, что:

$x + \sqrt{2} = a$
$x^3 + \sqrt{2} = b$

Из первого уравнения выразим x:
$x = a - \sqrt{2}$

Подставим это выражение для x во второе уравнение:
$(a - \sqrt{2})^3 + \sqrt{2} = b$

Раскроем куб разности, используя формулу $(p - q)^3 = p^3 - 3p^2q + 3pq^2 - q^3$:
$a^3 - 3a^2\sqrt{2} + 3a(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3 + \sqrt{2} = b$

Упростим полученное выражение:
$a^3 - 3a^2\sqrt{2} + 3a \cdot 2 - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = b$
$a^3 - 3a^2\sqrt{2} + 6a - \sqrt{2} = b$

Сгруппируем слагаемые, отделив рациональные части от иррациональных:
$(a^3 + 6a - b) - (3a^2 + 1)\sqrt{2} = 0$

Перенесем иррациональную часть вправо:
$a^3 + 6a - b = (3a^2 + 1)\sqrt{2}$

В левой части уравнения стоит выражение $a^3 + 6a - b$. Так как a и b — рациональные числа, то и результат операций сложения, вычитания и умножения над ними также является рациональным числом.

В правой части уравнения стоит выражение $(3a^2 + 1)\sqrt{2}$. Множитель $(3a^2 + 1)$ является рациональным, так как a рационально. Более того, так как $a^2 \ge 0$, то $3a^2 + 1 \ge 1$, следовательно, этот множитель не равен нулю.

Пусть $R = a^3 + 6a - b$ и $C = 3a^2 + 1$. Тогда $R$ и $C$ — рациональные числа, причем $C \neq 0$. Наше уравнение принимает вид:
$R = C\sqrt{2}$

Поскольку $C \neq 0$, мы можем разделить обе части на $C$:
$\sqrt{2} = \frac{R}{C}$

Так как $R$ и $C$ — рациональные числа, их частное $\frac{R}{C}$ также является рациональным числом. Это означает, что $\sqrt{2}$ — рациональное число. Однако известно, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такого числа x было неверным.

Ответ: нет, такого числа не существует.