Номер 16.1, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.1, страница 137.

Условие.

16.1. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{400 \cdot 1,44}$;

3) $\sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500}$;

5) $\sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25}}$;

2) $\sqrt{7^2 \cdot 2^8}$;

4) $\sqrt{\frac{49}{256}}$;

6) $\sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}}$;

Решение.

1)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{400 \cdot 1,44} $ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей, то есть $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{400 \cdot 1,44} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{1,44} $
Находим значения корней по отдельности:
$ \sqrt{400} = 20 $, так как $ 20^2 = 400 $.
$ \sqrt{1,44} = 1,2 $, так как $ 1,2^2 = 1,44 $.
Теперь перемножаем полученные значения:
$ 20 \cdot 1,2 = 24 $.
Ответ: $ 24 $

2)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{7^2 \cdot 2^8} $ используем свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и свойство корня из степени $ \sqrt{a^{2n}} = a^n $ (для $ a \ge 0 $).
$ \sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8} $
Вычисляем каждый корень отдельно:
$ \sqrt{7^2} = 7 $.
$ \sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4 = 16 $.
Перемножаем результаты:
$ 7 \cdot 16 = 112 $.
Ответ: $ 112 $

3)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500} $ применим свойство корня из произведения для трех множителей: $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $.
$ \sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{2500} $
Находим значения корней:
$ \sqrt{0,01} = 0,1 $, так как $ 0,1^2 = 0,01 $.
$ \sqrt{0,81} = 0,9 $, так как $ 0,9^2 = 0,81 $.
$ \sqrt{2500} = \sqrt{25 \cdot 100} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 10 = 50 $.
Теперь перемножаем полученные значения:
$ 0,1 \cdot 0,9 \cdot 50 = 0,09 \cdot 50 = 4,5 $.
Ответ: $ 4,5 $

4)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{49}{256}} $ воспользуемся свойством корня из дроби: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то есть $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.
$ \sqrt{\frac{49}{256}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{256}} $
Вычисляем корень из числителя и знаменателя:
$ \sqrt{49} = 7 $.
$ \sqrt{256} = 16 $, так как $ 16^2 = 256 $.
В результате получаем дробь:
$ \frac{7}{16} $.
Ответ: $ \frac{7}{16} $

5)

Чтобы вычислить значение выражения $ \sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25}} $, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16} $.
$ 2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50 + 14}{25} = \frac{64}{25} $.
Теперь подкоренное выражение имеет вид: $ \frac{49}{16} \cdot \frac{64}{25} $.
Используем свойства корня из произведения и корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{49}{16}} \cdot \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} $
Вычисляем значения корней и получаем произведение дробей:
$ \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{5} $
Перемножаем дроби:
$ \frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{56}{20} $
Сокращаем дробь на 4:
$ \frac{56}{20} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} $. Можно также представить в виде десятичной дроби $ 2,8 $.
Ответ: $ 2,8 $

6)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}} $ используем свойства корня из дроби и корня из произведения.
$ \sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36 \cdot 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36} \cdot \sqrt{81}} $
Вычисляем значения корней:
$ \sqrt{169} = 13 $, так как $ 13^2 = 169 $.
$ \sqrt{36} = 6 $.
$ \sqrt{81} = 9 $.
Подставляем вычисленные значения в выражение:
$ \frac{13}{6 \cdot 9} = \frac{13}{54} $.
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{13}{54} $