Номер 16.5, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.5, страница 137.

Условие.

16.5. Найдите значение частного:

1) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

2) $\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}}$;

3) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}$;

4) $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$;

5) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}$.

Решение.

1) Чтобы найти значение частного $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$, воспользуемся свойством частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25}$.
Теперь извлекаем квадратный корень из 25:
$\sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

2) Аналогично решаем пример $\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}}$. Применяем свойство частного корней:
$\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{3,2}{0,2}}$.
Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей под корнем, умножив числитель и знаменатель на 10:
$\sqrt{\frac{3,2 \cdot 10}{0,2 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16}$.
Извлекаем корень:
$\sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

3) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}$.
Используем свойство частного корней:
$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{72}{50}}$.
Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$\sqrt{\frac{72 \div 2}{50 \div 2}} = \sqrt{\frac{36}{25}}$.
Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя по отдельности: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$.

4) Для выражения $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ сначала упростим числитель, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{18}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$.
Применяем свойство частного корней:
$\sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9}$.
Извлекаем корень:
$\sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

5) Найдем значение выражения $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}$.
Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство произведения корней:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 15} = \sqrt{45}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}$.
Теперь воспользуемся свойством частного корней и сократим подкоренную дробь:
$\sqrt{\frac{5}{45}} = \sqrt{\frac{1}{9}}$.
Извлекаем корень из полученной дроби:
$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.