Номер 16.8, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.8, страница 137.

Условие.

16.8. Сравните числа:

1) $\sqrt{33}$ и $6$;

2) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$;

3) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Решение.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt{33}$ и $6$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительны, знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{33})^2 = 33$.

Квадрат второго числа: $6^2 = 36$.

Сравниваем полученные результаты: $33 < 36$.

Следовательно, $\sqrt{33} < 6$.

Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$, приведем второе число к виду $\sqrt{a}$. Для этого внесем множитель $2$ под знак корня.

$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$.

Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравниваем подкоренные выражения: $30 > 28$.

Значит, $\sqrt{30} > \sqrt{28}$, и следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

3) Чтобы сравнить числа $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$, упростим оба выражения, внеся множители под знак корня.

Преобразуем первое число:

$7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.

Преобразуем второе число:

$\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$.

Так как $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.