Номер 15.16, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.16, страница 128.

Условие.

15.16. Найдите такие целые числа a и b, что:

1) $(3-\sqrt{2})^2 = a+b\sqrt{2};$

2) $(\sqrt{3}-2)^2 = a-b\sqrt{3}.$

Решение.

1) Чтобы найти целые числа $a$ и $b$ из уравнения $(3-\sqrt{2})^2 = a + b\sqrt{2}$, необходимо сначала раскрыть скобки в левой части. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2$.

Сложим целые части:

$9 + 2 = 11$.

Таким образом, левая часть уравнения равна $11 - 6\sqrt{2}$.

Теперь приравняем левую и правую части:

$11 - 6\sqrt{2} = a + b\sqrt{2}$.

Два выражения, содержащие иррациональные числа, равны тогда и только тогда, когда равны их рациональные и иррациональные части. Приравнивая рациональные части, получаем:

$a = 11$.

Приравнивая коэффициенты при иррациональных частях ($\sqrt{2}$), получаем:

$b = -6$.

Числа $a=11$ и $b=-6$ являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a=11, b=-6$.

2) Чтобы найти целые числа $a$ и $b$ из уравнения $(\sqrt{3}-2)^2 = a - b\sqrt{3}$, поступим аналогично. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности.

$(\sqrt{3}-2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4$.

Сложим целые части:

$3 + 4 = 7$.

Таким образом, левая часть уравнения равна $7 - 4\sqrt{3}$.

Теперь приравняем левую и правую части:

$7 - 4\sqrt{3} = a - b\sqrt{3}$.

Приравниваем рациональные части:

$a = 7$.

Приравниваем иррациональные части:

$-4\sqrt{3} = -b\sqrt{3}$.

Разделив обе части на $-\sqrt{3}$, получаем:

$b = 4$.

Числа $a=7$ и $b=4$ являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a=7, b=4$.