Номер 15.11, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.11, страница 127.

Условие.

15.11. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Решение.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — целое ненулевое число.

Пусть даны два произвольных рациональных числа $x$ и $y$. Их можно представить в виде дробей: $x = \frac{a}{b}$ и $y = \frac{c}{d}$, где $a, c$ — целые числа ($a, c \in \mathbb{Z}$), а $b, d$ — целые ненулевые числа ($b, d \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$, $d \neq 0$).

Сумма

Найдем сумму чисел $x$ и $y$: $x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$. Поскольку $a, b, c, d$ — целые числа, то произведения $ad$ и $bc$ также являются целыми числами. Сумма целых чисел $(ad + bc)$ является целым числом. Произведение ненулевых целых чисел $b$ и $d$ также является ненулевым целым числом ($bd \neq 0$). Следовательно, сумма $x+y$ представляется в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Это означает, что сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.
Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдем разность чисел $x$ и $y$: $x - y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$. Поскольку $a, b, c, d$ — целые числа, то произведения $ad$ и $bc$ также являются целыми числами. Разность целых чисел $(ad - bc)$ является целым числом. Произведение ненулевых целых чисел $b$ и $d$ является ненулевым целым числом ($bd \neq 0$). Следовательно, разность $x-y$ представляется в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Это означает, что разность двух рациональных чисел является рациональным числом.
Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдем произведение чисел $x$ и $y$: $x \cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Поскольку $a$ и $c$ — целые числа, их произведение $ac$ является целым числом. Поскольку $b$ и $d$ — ненулевые целые числа, их произведение $bd$ является ненулевым целым числом. Следовательно, произведение $x \cdot y$ представляется в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Это означает, что произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдем частное чисел $x$ и $y$, при условии, что делитель $y$ не равен нулю ($y \neq 0$). Если $y = \frac{c}{d} \neq 0$, то и числитель $c$ не равен нулю ($c \neq 0$). $x : y = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$. Поскольку $a, d$ — целые числа, их произведение $ad$ является целым числом. Поскольку $b, c$ — ненулевые целые числа (так как $y \neq 0$), их произведение $bc$ является ненулевым целым числом. Следовательно, частное $x : y$ представляется в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Это означает, что частное двух рациональных чисел (где делитель не равен нулю) является рациональным числом.
Ответ: Частное двух рациональных чисел является рациональным числом.