Номер 14.49, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.49, страница 120.

Условие.

14.49. Упростите выражение:

$(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5}) : (\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5).$

Решение.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упрощение выражения в первой скобке:

Исходное выражение в первой скобке: $(\frac{a}{a^2 - 25} + \frac{5}{5 - a} + \frac{1}{a + 5})$.

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Заметим, что $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$ и $5 - a = -(a - 5)$.

$\frac{a}{(a - 5)(a + 5)} + \frac{5}{-(a - 5)} + \frac{1}{a + 5} = \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5}{a - 5} + \frac{1}{a + 5}$

Общим знаменателем является выражение $(a - 5)(a + 5)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{5(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} + \frac{1(a - 5)}{(a - 5)(a + 5)}$

Теперь объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{a - 5(a + 5) + (a - 5)}{(a - 5)(a + 5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a - 5a - 25 + a - 5}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{-3a - 30}{(a - 5)(a + 5)}$

Вынесем общий множитель $-3$ в числителе:

$\frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)}$

2. Упрощение выражения во второй скобке:

Исходное выражение во второй скобке: $(\frac{28 - a^2}{a + 5} + a - 5)$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $a + 5$:

$\frac{28 - a^2}{a + 5} + \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 5}$

Объединим числители и воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\frac{28 - a^2 + (a^2 - 25)}{a + 5}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{28 - a^2 + a^2 - 25}{a + 5} = \frac{3}{a + 5}$

3. Выполнение деления:

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на результат второго действия:

$\frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} : \frac{3}{a + 5}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (перевернуть делитель):

$\frac{-3(a + 10)}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{3}$

Сократим общие множители. Множитель $3$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(a + 5)$ в числителе и знаменателе также сокращается (при условии $a \neq -5$):

$\frac{-\cancel{3}(a + 10)}{(a - 5)\cancel{(a + 5)}} \cdot \frac{\cancel{a + 5}}{\cancel{3}} = \frac{-(a + 10)}{a - 5}$

Полученное выражение можно также записать в виде $\frac{a + 10}{5 - a}$.

Ответ: $-\frac{a+10}{a-5}$.