Номер 14.39, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.39, страница 120.

Условие.

14.39. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x(x-1)} > 0;$

2) $\sqrt{x(x-1)} \ge 0;$

3) $\sqrt{x(x-1)} < 0;$

4) $\sqrt{x(x-1)} \le 0;$

5) $\frac{x}{\sqrt{x-1}} > 0;$

6) $\frac{x}{\sqrt{x-1}} \ge 0;$

7) $\frac{x}{\sqrt{x-1}} < 0;$

8) $\frac{x}{\sqrt{x-1}} \le 0.$

Решение.

1)

Решим неравенство $\sqrt{x}(x-1) > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием существования квадратного корня: $x \ge 0$.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, для того чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 1$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $(1; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{x}(x-1) \ge 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

$x-1 = 0 \implies x = 1$.

Произведение больше нуля, как мы выяснили в пункте 1, при $x > 1$.

Объединяя эти решения ($x=0$, $x=1$ и $x>1$), получаем $x=0$ и $x \ge 1$. Все эти значения входят в ОДЗ.

Ответ: $\{0\} \cup [1; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{x}(x-1) < 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Поскольку $\sqrt{x}$ является неотрицательным числом, для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $\sqrt{x}$ был строго положителен, а множитель $(x-1)$ был строго отрицателен. Это приводит к системе:

$\begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ x-1 < 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < 1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $(0; 1)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(0; 1)$.

4)

Решим неравенство $\sqrt{x}(x-1) \le 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Произведение меньше нуля при $x \in (0; 1)$ (из пункта 3).

Произведение равно нулю при $x=0$ или $x=1$ (из пункта 2).

Объединяя эти решения, получаем отрезок $[0; 1]$. Все значения из этого отрезка входят в ОДЗ.

Ответ: $[0; 1]$.

5)

Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x-1}} > 0$.

ОДЗ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. Объединяя их, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$x-1 > 0 \implies x > 1$.

В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x-1}$ всегда положителен. Следовательно, чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть положителен: $x > 0$.

Нам нужно найти пересечение ОДЗ ($x > 1$) и условия $x > 0$. Пересечением является $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

6)

Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x-1}} \ge 0$.

ОДЗ: $x > 1$.

Неравенство выполняется, если дробь больше нуля или равна нулю.

Дробь больше нуля при $x > 1$ (из пункта 5).

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $x=0$. Однако это значение не входит в ОДЗ ($x > 1$).

Следовательно, единственным решением является случай строгого неравенства.

Ответ: $(1; +\infty)$.

7)

Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x-1}} < 0$.

ОДЗ: $x > 1$.

В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x-1}$ всегда положителен. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть отрицательным: $x < 0$.

Нам нужно найти пересечение ОДЗ ($x > 1$) и условия $x < 0$. Эти два множества не пересекаются.

Ответ: решений нет.

8)

Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x-1}} \le 0$.

ОДЗ: $x > 1$.

Неравенство выполняется, если дробь меньше нуля или равна нулю.

Дробь меньше нуля: как мы выяснили в пункте 7, для этого необходимо, чтобы $x < 0$ и $x > 1$ одновременно, что невозможно. Решений нет.

Дробь равна нулю: для этого необходимо, чтобы $x=0$. Это значение не входит в ОДЗ ($x > 1$). Решений нет.

Поскольку ни одно из условий не дает решений, общее неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.