Номер 14.34, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.34, страница 119.

Условие.

14.34. Найдите все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие уравнению:

1) $\sqrt{2x - 1} + \sqrt{y - 2x + 3} = 0;$

2) $\sqrt{x^2 - 25} + \sqrt{y^2 - 16} = 0.$

Решение.

1) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} + \sqrt{y - 2x + 3} = 0$.

По определению, арифметический квадратный корень из действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $\sqrt{2x - 1} \ge 0$ и $\sqrt{y - 2x + 3} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{2x - 1} = 0 \\ \sqrt{y - 2x + 3} = 0 \end{cases}$

Возведя в квадрат обе части каждого уравнения, получим:

$\begin{cases} 2x - 1 = 0 \\ y - 2x + 3 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Теперь подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$y - 2(\frac{1}{2}) + 3 = 0$

$y - 1 + 3 = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Следовательно, единственная пара чисел, удовлетворяющая уравнению, — это $(\frac{1}{2}; -2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; -2)$.

2) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 25} + \sqrt{y^2 - 16} = 0$.

Так же, как и в предыдущем задании, левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Эта сумма равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 25} = 0 \\ \sqrt{y^2 - 16} = 0 \end{cases}$

Возводим в квадрат обе части каждого уравнения:

$\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ y^2 - 16 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $x$:

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Решим второе уравнение относительно $y$:

$y^2 = 16$

$y = \pm\sqrt{16}$

$y_1 = 4$, $y_2 = -4$

Поскольку уравнения для $x$ и $y$ независимы друг от друга, решением будут все возможные комбинации полученных значений. Таким образом, мы имеем четыре пары чисел:

• $(5; 4)$
• $(5; -4)$
• $(-5; 4)$
• $(-5; -4)$

Ответ: $(5; 4)$, $(5; -4)$, $(-5; 4)$, $(-5; -4)$.