Номер 14.28, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.28, страница 118.

Условие.

14.28. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = -x$;

2) $(\sqrt{x})^2 = x$;

3) $\sqrt{x} = -x^2$;

4) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = 0$;

5) $\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0$;

6) $(x - 1)\sqrt{x + 1} = 0$;

7) $(x + 1)\sqrt{x - 1} = 0$;

8) $\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2 = 0$;

9) $(x^2 - 4)\sqrt{x - 1} = 0$;

10) $(x - 1)(\sqrt{-x} - 1) = 0$.

Решение.

1) В уравнении $\sqrt{x} = -x$ область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$. Левая часть уравнения $\sqrt{x}$ по определению неотрицательна, следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$. Единственным числом, удовлетворяющим обоим условиям $x \ge 0$ и $x \le 0$, является $x=0$. Проверка: $\sqrt{0} = -0$, $0=0$.
Ответ: 0.

2) Уравнение $(\sqrt{x})^2 = x$ является тождеством по определению квадратного корня. Оно определено и верно для всех $x$, при которых существует $\sqrt{x}$, то есть для всех неотрицательных $x$.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

3) В уравнении $\sqrt{x} = -x^2$ ОДЗ: $x \ge 0$. Левая часть $\sqrt{x} \ge 0$, а правая часть $-x^2 \le 0$. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны нулю. $\sqrt{x}=0$ при $x=0$, и $-x^2=0$ также при $x=0$. Таким образом, единственное решение — это $x=0$. Проверка: $\sqrt{0}=-0^2$, $0=0$.
Ответ: 0.

4) В уравнении $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} = 0$ ОДЗ определяется системой $\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$, решением которой является $x \ge 1$. Сумма двух неотрицательных слагаемых $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x-1}$ равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. $\sqrt{x}=0 \implies x=0$, а $\sqrt{x-1}=0 \implies x=1$. Не существует значения $x$, при котором оба условия выполняются одновременно.
Ответ: корней нет.

5) В уравнении $\sqrt{x^2+2x} + \sqrt{x^2-4} = 0$ ОДЗ определяется системой $\begin{cases} x^2+2x \ge 0 \\ x^2-4 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x(x+2) \ge 0 \\ (x-2)(x+2) \ge 0 \end{cases}$. Решением системы является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое из них равно нулю. Из $\sqrt{x^2+2x}=0$ следует $x=0$ или $x=-2$. Из $\sqrt{x^2-4}=0$ следует $x=2$ или $x=-2$. Общим решением является $x=-2$, которое принадлежит ОДЗ.
Ответ: -2.

6) В уравнении $(x-1)\sqrt{x+1} = 0$ ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1) $x-1=0 \implies x=1$. Этот корень принадлежит ОДЗ. 2) $\sqrt{x+1}=0 \implies x+1=0 \implies x=-1$. Этот корень также принадлежит ОДЗ.
Ответ: -1; 1.

7) В уравнении $(x+1)\sqrt{x-1} = 0$ ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $x+1=0 \implies x=-1$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 1$. 2) $\sqrt{x-1}=0 \implies x-1=0 \implies x=1$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
Ответ: 1.

8) В уравнении $\sqrt{x+3}\sqrt{x-2} = 0$ ОДЗ определяется системой $\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$, решением которой является $x \ge 2$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $\sqrt{x+3}=0 \implies x=-3$. Не принадлежит ОДЗ. 2) $\sqrt{x-2}=0 \implies x=2$. Принадлежит ОДЗ.
Ответ: 2.

9) В уравнении $(x^2-4)\sqrt{x-1} = 0$ ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $x^2-4=0 \implies x=2$ или $x=-2$. Корень $x=-2$ не принадлежит ОДЗ, а корень $x=2$ принадлежит. 2) $\sqrt{x-1}=0 \implies x=1$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
Ответ: 1; 2.

10) В уравнении $(x-1)(\sqrt{-x}-1) = 0$ ОДЗ: $-x \ge 0 \implies x \le 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $x-1=0 \implies x=1$. Не принадлежит ОДЗ. 2) $\sqrt{-x}-1=0 \implies \sqrt{-x}=1 \implies -x=1 \implies x=-1$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
Ответ: -1.