Номер 14.29, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.29, страница 118.

Условие.

14.29. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = -|x|;$

2) $(\sqrt{x})^2 = |x|;$

3) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1;$

4) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0;$

5) $(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0;$

6) $(x - 1)(\sqrt{x} + 1) = 0;$

7) $(x + 1)(\sqrt{x} - 1) = 0;$

8) $(x^2 - 16)\sqrt{x - 3} = 0.$

Решение.

1) $\sqrt{x} = -|x|$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Уравнение принимает вид $\sqrt{x} = -x$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть, $-x$, при $x \ge 0$ всегда неположительна ($\le 0$).

Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

Проверим корень $x=0$: $\sqrt{0} = -|0| \implies 0=0$. Равенство верное.

Ответ: $0$

2) $(\sqrt{x})^2 = |x|$

ОДЗ: $x \ge 0$.

По определению арифметического квадратного корня, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.

По определению модуля, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $|x| = x$.

Таким образом, уравнение сводится к тождеству $x=x$, которое верно для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $[0; +\infty)$

3) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 0 \end{cases}$

Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, — это $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем:

$\sqrt{0} + \sqrt{-0} = 0 + 0 = 0$.

Получаем $0 = 1$, что является ложным равенством. Следовательно, $x=0$ не является корнем уравнения.

Ответ: корней нет

4) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых (квадратных корней) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 2x + 1} = 0 \\ \sqrt{x^2 - 1} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x^2 - 1 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x=1$ или $x=-1$.

Общим решением системы является $x=1$.

Ответ: $1$

5) $(x-2)\sqrt{x-3} = 0$

ОДЗ: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения определены (т.е. $x$ принадлежит ОДЗ).

1) $x-2 = 0 \implies x = 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($2 < 3$), поэтому он является посторонним.

2) $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$).

Ответ: $3$

6) $(x-1)(\sqrt{x}+1) = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим второй множитель: $\sqrt{x}+1$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x}+1 \ge 1$, то есть этот множитель никогда не равен нулю.

Следовательно, равенство возможно только если первый множитель равен нулю:

$x-1 = 0 \implies x=1$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: $1$

7) $(x+1)(\sqrt{x}-1) = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $x+1=0 \implies x=-1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-1 < 0$).

2) $\sqrt{x}-1=0 \implies \sqrt{x}=1 \implies x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: $1$

8) $(x^2-16)\sqrt{x-3} = 0$

ОДЗ: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, и при этом $x$ входит в ОДЗ.

1) $x^2-16 = 0 \implies x^2=16 \implies x=4$ или $x=-4$.

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 3$).

Корень $x=-4$ не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 3$).

2) $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $3; 4$