Номер 14.29, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.29, страница 118.
№14.29 (с. 118)
Условие. №14.29 (с. 118)
скриншот условия
 
                                14.29. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x} = -|x|;$
2) $(\sqrt{x})^2 = |x|;$
3) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1;$
4) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0;$
5) $(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0;$
6) $(x - 1)(\sqrt{x} + 1) = 0;$
7) $(x + 1)(\sqrt{x} - 1) = 0;$
8) $(x^2 - 16)\sqrt{x - 3} = 0.$
Решение. №14.29 (с. 118)
1) $\sqrt{x} = -|x|$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Уравнение принимает вид $\sqrt{x} = -x$.
Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть, $-x$, при $x \ge 0$ всегда неположительна ($\le 0$).
Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.
$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.
Проверим корень $x=0$: $\sqrt{0} = -|0| \implies 0=0$. Равенство верное.
Ответ: $0$
2) $(\sqrt{x})^2 = |x|$
ОДЗ: $x \ge 0$.
По определению арифметического квадратного корня, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
По определению модуля, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $|x| = x$.
Таким образом, уравнение сводится к тождеству $x=x$, которое верно для всех $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $[0; +\infty)$
3) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1$
Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 0 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, — это $x=0$.
Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем:
$\sqrt{0} + \sqrt{-0} = 0 + 0 = 0$.
Получаем $0 = 1$, что является ложным равенством. Следовательно, $x=0$ не является корнем уравнения.
Ответ: корней нет
4) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$
Сумма двух неотрицательных слагаемых (квадратных корней) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 2x + 1} = 0 \\ \sqrt{x^2 - 1} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x^2 - 1 = 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$.
Решим второе уравнение: $x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x=1$ или $x=-1$.
Общим решением системы является $x=1$.
Ответ: $1$
5) $(x-2)\sqrt{x-3} = 0$
ОДЗ: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения определены (т.е. $x$ принадлежит ОДЗ).
1) $x-2 = 0 \implies x = 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($2 < 3$), поэтому он является посторонним.
2) $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$).
Ответ: $3$
6) $(x-1)(\sqrt{x}+1) = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим второй множитель: $\sqrt{x}+1$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x}+1 \ge 1$, то есть этот множитель никогда не равен нулю.
Следовательно, равенство возможно только если первый множитель равен нулю:
$x-1 = 0 \implies x=1$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).
Ответ: $1$
7) $(x+1)(\sqrt{x}-1) = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $x+1=0 \implies x=-1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-1 < 0$).
2) $\sqrt{x}-1=0 \implies \sqrt{x}=1 \implies x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).
Ответ: $1$
8) $(x^2-16)\sqrt{x-3} = 0$
ОДЗ: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, и при этом $x$ входит в ОДЗ.
1) $x^2-16 = 0 \implies x^2=16 \implies x=4$ или $x=-4$.
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 3$).
Корень $x=-4$ не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 3$).
2) $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$).
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $3; 4$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 14.29 расположенного на странице 118 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.29 (с. 118), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    