Номер 14.23, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.23, страница 118.

Условие.

14.23. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}} = 4;$

2) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}} = 3;$

3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}} = 2.$

Решение.

1) $\sqrt{3 + \sqrt{2 + x}} = 4$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо последовательно избавляться от корней путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2 + x \ge 0 \implies x \ge -2$.

Выражение под внешним корнем $3 + \sqrt{2+x}$ всегда положительно при $x \ge -2$, так как корень $\sqrt{2+x}$ является неотрицательной величиной. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge -2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3 + \sqrt{2 + x}})^2 = 4^2$

$3 + \sqrt{2 + x} = 16$

Перенесем 3 в правую часть, чтобы выразить оставшийся корень:

$\sqrt{2 + x} = 16 - 3$

$\sqrt{2 + x} = 13$

Снова возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от последнего корня:

$(\sqrt{2 + x})^2 = 13^2$

$2 + x = 169$

Найдем $x$:

$x = 169 - 2$

$x = 167$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $167 \ge -2$. Условие выполняется. Выполним проверку подстановкой найденного значения в исходное уравнение:

$\sqrt{3 + \sqrt{2 + 167}} = \sqrt{3 + \sqrt{169}} = \sqrt{3 + 13} = \sqrt{16} = 4$.

$4 = 4$. Решение верно.

Ответ: $x = 167$.

---

2) $\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}}} = 3$

Определим ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

1. $x \ge 0$.

2. $3 + \sqrt{x} \ge 0$ (выполняется для всех $x \ge 0$).

3. $2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}} \ge 0$ (выполняется для всех $x \ge 0$).

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}}})^2 = 3^2$

$2 + \sqrt{3 + \sqrt{x}} = 9$

Выразим корень:

$\sqrt{3 + \sqrt{x}} = 9 - 2$

$\sqrt{3 + \sqrt{x}} = 7$

Снова возведем в квадрат:

$(\sqrt{3 + \sqrt{x}})^2 = 7^2$

$3 + \sqrt{x} = 49$

Выразим последний корень:

$\sqrt{x} = 49 - 3$

$\sqrt{x} = 46$

Возведем в квадрат в последний раз:

$x = 46^2$

$x = 2116$

Найденное значение $x = 2116$ удовлетворяет ОДЗ ($2116 \ge 0$). Выполним проверку:

$\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2116}}} = \sqrt{2 + \sqrt{3 + 46}} = \sqrt{2 + \sqrt{49}} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3$.

$3=3$. Решение верно.

Ответ: $x = 2116$.

---

3) $\sqrt{4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}}} = 2$

Определим ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

1. $x \ge 0$.

2. $10 + \sqrt{x} \ge 0$ (выполняется для всех $x \ge 0$).

3. $4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{10 + \sqrt{x}}$. Возводим в квадрат: $16 \ge 10 + \sqrt{x} \implies 6 \ge \sqrt{x}$. Снова возводим в квадрат: $36 \ge x$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 36$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$4 - \sqrt{10 + \sqrt{x}} = 4$

Выразим корень:

$-\sqrt{10 + \sqrt{x}} = 4 - 4$

$-\sqrt{10 + \sqrt{x}} = 0$

$\sqrt{10 + \sqrt{x}} = 0$

Снова возведем в квадрат:

$10 + \sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x} = -10$

Квадратный корень из действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.

---

Примечание: Вероятно, в условии задачи №3 имеется опечатка. Если предположить, что уравнение должно выглядеть как $\sqrt{4 - \sqrt{10 - \sqrt{x}}} = 2$, то решение будет следующим:

Найдем ОДЗ для $\sqrt{4 - \sqrt{10 - \sqrt{x}}} = 2$:

1. $x \ge 0$.

2. $10 - \sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x} \le 10 \implies x \le 100$.

3. $4 - \sqrt{10 - \sqrt{x}} \ge 0$. Так как правая часть уравнения $2 \ge 0$, это условие будет выполнено для любого решения.

Итоговое ОДЗ: $0 \le x \le 100$.

Решение:

$4 - \sqrt{10 - \sqrt{x}} = 4 \implies \sqrt{10 - \sqrt{x}} = 0 \implies 10 - \sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 10 \implies x = 100$.

Корень $x = 100$ входит в ОДЗ. Проверка: $\sqrt{4 - \sqrt{10 - \sqrt{100}}} = \sqrt{4 - \sqrt{10-10}} = \sqrt{4 - 0} = 2$. Верно. В этом случае ответом было бы $x=100$.