Номер 14.18, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.18, страница 117.

Условие.

14.18. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)^2 = 25;$

2) $(x - 3)^2 = 7;$

3) $(2x - 3)^2 = 11.$

Решение.

1) Дано уравнение $(2x - 3)^2 = 25$.
Для решения извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приводит к двум возможным случаям, так как выражение в скобках может быть равно как $\sqrt{25}$, так и $-\sqrt{25}$.
$2x - 3 = 5$ или $2x - 3 = -5$.
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1. Решаем первое уравнение:
$2x - 3 = 5$
$2x = 5 + 3$
$2x = 8$
$x_1 = \frac{8}{2} = 4$
2. Решаем второе уравнение:
$2x - 3 = -5$
$2x = -5 + 3$
$2x = -2$
$x_2 = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1; 4$.

2) Дано уравнение $(x - 3)^2 = 7$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных равенства:
$x - 3 = \sqrt{7}$ или $x - 3 = -\sqrt{7}$.
Найдем $x$ для каждого случая:
1. Из первого равенства:
$x - 3 = \sqrt{7}$
$x_1 = 3 + \sqrt{7}$
2. Из второго равенства:
$x - 3 = -\sqrt{7}$
$x_2 = 3 - \sqrt{7}$
Уравнение имеет два иррациональных корня.
Ответ: $3 - \sqrt{7}; 3 + \sqrt{7}$.

3) Дано уравнение $(2x - 3)^2 = 11$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$2x - 3 = \sqrt{11}$ или $2x - 3 = -\sqrt{11}$.
Решим каждое из полученных линейных уравнений:
1. Решаем первое уравнение:
$2x - 3 = \sqrt{11}$
$2x = 3 + \sqrt{11}$
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$
2. Решаем второе уравнение:
$2x - 3 = -\sqrt{11}$
$2x = 3 - \sqrt{11}$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$
Получили два корня.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{11}}{2}; \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$.