Номер 14.12, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.12, страница 117.

Условие.

14.12. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{2y}$;

2) $\sqrt{-3y}$;

3) $\sqrt{y^3}$;

4) $\sqrt{-y^3}$;

5) $\sqrt{-y^4}$;

6) $\frac{1}{\sqrt{y}}$;

Решение.

1)

Область определения выражения $\sqrt{2y}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$2y \geq 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$y \geq 0$

Таким образом, область определения — это все числа $y$, большие или равные нулю.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

2)

Для выражения $\sqrt{-3y}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$-3y \geq 0$

Разделим обе части неравенства на -3, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$y \leq 0$

Область определения — это все числа $y$, меньшие или равные нулю.

Ответ: $y \in (-\infty, 0]$.

3)

Для выражения $\sqrt{y^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$y^3 \geq 0$

Степень с нечетным показателем сохраняет знак основания. Поэтому неравенство $y^3 \geq 0$ равносильно неравенству $y \geq 0$.

Область определения — это все числа $y$, большие или равные нулю.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

4)

Для выражения $\sqrt{-y^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$-y^3 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства:

$y^3 \leq 0$

Так как степень с нечетным показателем сохраняет знак основания, это неравенство равносильно $y \leq 0$.

Область определения — это все числа $y$, меньшие или равные нулю.

Ответ: $y \in (-\infty, 0]$.

5)

Для выражения $\sqrt{-y^4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$-y^4 \geq 0$

Выражение $y^4$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $y$, так как показатель степени четный ($y^4 \geq 0$).

Следовательно, выражение $-y^4$ всегда неположительно ($-y^4 \leq 0$).

Неравенство $-y^4 \geq 0$ выполняется только в том случае, когда $-y^4 = 0$.

$-y^4 = 0 \implies y^4 = 0 \implies y = 0$

Таким образом, выражение определено только при $y=0$.

Ответ: $y=0$.

6)

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{y}}$ должны выполняться два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y \geq 0$. Во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{y} \neq 0$, что равносильно $y \neq 0$.

Объединяя эти два условия ($y \geq 0$ и $y \neq 0$), получаем строгое неравенство:

$y > 0$

Область определения — это все положительные числа $y$.

Ответ: $y \in (0, +\infty)$.