Номер 14.6, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.6, страница 116.

Условие.

14.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 20;$

2) $\sqrt{x} = -16;$

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{3} = 0.$

Решение.

1) $\sqrt{x} = 20$

Чтобы решить уравнение, необходимо найти значение $x$, при котором корень из него равен 20. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Область допустимых значений для переменной $x$ под знаком корня: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 20^2$

$x = 400$

Найденное значение $x = 400$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{400} = 20$

$20 = 20$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $400$.

2) $\sqrt{x} = -16$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) из неотрицательного числа есть неотрицательное число. Это означает, что левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, не может быть отрицательной ($\sqrt{x} \ge 0$).

Правая часть уравнения равна -16, что является отрицательным числом.

Так как неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{3} = 0$

Для решения этого уравнения сначала изолируем радикал (квадратный корень), перенеся член $-\frac{2}{3}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$

Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части полученного уравнения в квадрат. Область допустимых значений: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{2}{3})^2$

$x = \frac{2^2}{3^2}$

$x = \frac{4}{9}$

Найденное значение $x = \frac{4}{9}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{4}{9}} - \frac{2}{3} = 0$

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $\frac{4}{9}$.