Номер 14.2, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.2, страница 116.

Условие.

14.2. Найдите значение арифметического квадратного корня:

1) $\sqrt{0,04};$

2) $\sqrt{\frac{16}{121}};$

3) $\sqrt{5\frac{4}{9}};$

4) $\sqrt{0,0009}.$

Решение.

1) Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Чтобы найти значение $\sqrt{0,04}$, нужно найти число, которое при возведении в квадрат даст $0,04$.
Представим десятичную дробь $0,04$ в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100}$.
Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$.
Проверим: $0,2^2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$.
Ответ: $0,2$.

2) Для нахождения значения $\sqrt{\frac{16}{121}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{121}}$.
Находим корень из числителя и знаменателя:
$\sqrt{16} = 4$, так как $4^2 = 16$.
$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.
Таким образом, $\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{4}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{11}$.

3) Сначала необходимо преобразовать смешанное число $5\frac{4}{9}$ в неправильную дробь.
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9}$.
Теперь извлечем корень из полученной дроби:
$\sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}$.
Находим корень из числителя и знаменателя:
$\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.
$\sqrt{9} = 3$, так как $3^2 = 9$.
Таким образом, $\sqrt{5\frac{4}{9}} = \frac{7}{3}$.
Результат можно представить в виде смешанного числа: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$ (или $2\frac{1}{3}$).

4) Чтобы найти значение $\sqrt{0,0009}$, представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби.
$0,0009 = \frac{9}{10000}$.
Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби:
$\sqrt{0,0009} = \sqrt{\frac{9}{10000}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10000}}$.
Находим корень из числителя и знаменателя:
$\sqrt{9} = 3$, так как $3^2 = 9$.
$\sqrt{10000} = 100$, так как $100^2 = 10000$.
Таким образом, $\sqrt{0,0009} = \frac{3}{100} = 0,03$.
Проверим: $0,03^2 = 0,03 \cdot 0,03 = 0,0009$.
Ответ: $0,03$.