Номер 13.18, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.18, страница 110.

Условие.

13.18. Постройте график уравнения:

1) $(y + x^2)(y + x) = 0;$

2) $\frac{x^2 - y}{(x+2)^2 + (y-4)^2} = 0.$

Решение.

1)

Исходное уравнение: $(y + x^2)(y + x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y + x^2 = 0$ или $y + x = 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $y + x^2 = 0$, что эквивалентно $y = -x^2$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$.

Второе уравнение: $y + x = 0$, что эквивалентно $y = -x$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей.

График исходного уравнения представляет собой объединение графиков этих двух уравнений, то есть параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -x$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -x$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{x^2 - y}{(x+2)^2 + (y-4)^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Рассмотрим второе условие системы: $(x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. То есть, знаменатель обращается в ноль, если одновременно выполняются условия:

$\begin{cases} x+2=0 \\ y-4=0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x=-2 \\ y=4 \end{cases}$.

Таким образом, из графика уравнения $y = x^2$ необходимо исключить точку, в которой знаменатель равен нулю, то есть точку с координатами $(-2, 4)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(-2, 4)$ параболе $y = x^2$. Подставим $x = -2$ в уравнение параболы: $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ действительно лежит на параболе.

Следовательно, искомый график — это парабола $y = x^2$, из которой "выколота" точка $(-2, 4)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.