Номер 13.11, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.11, страница 109.

Условие.

13.11. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3}{x}$;

2) $y = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}$.

Решение.

1)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^3}{x}$.

1. Область определения функции. Поскольку в знаменателе находится переменная $x$, на нее накладывается ограничение: $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь на $x$:

$y = \frac{x^3}{x} = x^2$.

3. Получили, что график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x^2$ при всех значениях $x$, кроме $x = 0$.

4. Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

5. Так как $x \neq 0$, точка графика с абсциссой $x=0$ должна быть исключена ("выколота"). Найдем ординату этой точки, подставив $x=0$ в упрощенную функцию $y=x^2$: $y = 0^2 = 0$. Значит, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику.

Таким образом, график функции $y = \frac{x^3}{x}$ — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}$.

1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Область определения $D(y): x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x^2$ за скобки:

$y = \frac{x^2(x - 2)}{x - 2}$.

3. При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на выражение $(x - 2)$:

$y = x^2$.

4. График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$ для всех $x$, кроме $x = 2$.

5. Найдем координаты точки, которая должна быть исключена из графика. Для этого подставим значение $x = 2$ в упрощенное уравнение $y = x^2$:

$y = 2^2 = 4$.

Следовательно, точка с координатами $(2, 4)$ не принадлежит графику исходной функции.

Таким образом, график функции $y = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}$ — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.