Номер 13.7, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.7, страница 108.

Условие.

13.7. Дана функция $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } -1 < x < 2 \\ 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

1) Найдите $f(-4), f(-0,3), f(1,9), f(3), f(-1), f(2)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение.

1) Найдите f(-4), f(-0,3), f(1,9), f(3), f(-1), f(2).

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } -1 < x < 2 \\ 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Для нахождения значения функции в заданной точке необходимо определить, какому из трех промежутков принадлежит аргумент $x$, и затем использовать соответствующую формулу.

• Найдем $f(-4)$.
  Аргумент $x = -4$ удовлетворяет условию $x \le -1$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = 2x+3$.
  $f(-4) = 2 \cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5$.

• Найдем $f(-0,3)$.
  Аргумент $x = -0,3$ удовлетворяет условию $-1 < x < 2$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-0,3) = (-0,3)^2 = 0,09$.

• Найдем $f(1,9)$.
  Аргумент $x = 1,9$ удовлетворяет условию $-1 < x < 2$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = x^2$.
  $f(1,9) = (1,9)^2 = 3,61$.

• Найдем $f(3)$.
  Аргумент $x = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу $f(x) = 4$.
  $f(3) = 4$.

• Найдем $f(-1)$.
  Аргумент $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le -1$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = 2x+3$.
  $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

• Найдем $f(2)$.
  Аргумент $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу $f(x) = 4$.
  $f(2) = 4$.

Ответ: $f(-4)=-5$; $f(-0,3)=0,09$; $f(1,9)=3,61$; $f(3)=4$; $f(-1)=1$; $f(2)=4$.

2) Постройте график данной функции.

График данной функции состоит из трех частей, соответствующих трем промежуткам определения.

1. На промежутке $(-\infty, -1]$ строим график функции $y = 2x+3$.
   Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем две точки.
   Граничная точка: при $x = -1$, $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
   Дополнительная точка: при $x = -2$, $y = 2(-2) + 3 = -1$. Точка $(-2, -1)$ принадлежит графику.
   Проводим луч через эти две точки с началом в $(-1, 1)$.

2. На промежутке $(-1, 2)$ строим график функции $y = x^2$.
   Это квадратичная функция, ее график — часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх. Границы интервала не включаются, поэтому точки на концах дуги будут "выколотыми".
   При $x \to -1$, $y \to (-1)^2 = 1$. Координаты выколотой точки: $(-1, 1)$.
   При $x \to 2$, $y \to 2^2 = 4$. Координаты выколотой точки: $(2, 4)$.
   Строим дугу параболы, проходящую через $(0,0)$ и соединяющую выколотые точки $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

3. На промежутке $[2, +\infty)$ строим график функции $y = 4$.
   Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч, параллельный оси абсцисс.
   Луч начинается в точке $x=2$. При $x=2$, $y=4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.
   Строим горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и идущий вправо.

Объединяем построенные части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ конец первого луча $(−1, 1)$ совпадает с выколотой точкой начала дуги параболы, поэтому разрыва нет. Аналогично, в точке $x=2$ выколотая точка конца дуги параболы $(2, 4)$ совпадает с началом второго луча, поэтому разрыва также нет. В итоге получается сплошной график.

Ответ: График функции представляет собой сплошную линию, состоящую из луча $y=2x+3$ на $(-\infty, -1]$, участка параболы $y=x^2$ на $(-1, 2)$ и горизонтального луча $y=4$ на $[2, +\infty)$.