Номер 13.3, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.3, страница 108.

Условие.

13.3. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = -4x - 3$;

2) $x^2 - 3x + 5 = 0$;

3) $x^2 + \frac{1}{x} = 0.$

Решение.

1)

Чтобы решить уравнение $x^2 = -4x - 3$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = -4x - 3$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Для построения возьмём несколько точек:

• при $x = 0$, $y = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1$, $y = 1$; точка (1, 1)
• при $x = -1$, $y = 1$; точка (-1, 1)
• при $x = -2$, $y = 4$; точка (-2, 4)
• при $x = -3$, $y = 9$; точка (-3, 9)

2. График функции $y = -4x - 3$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = -4(0) - 3 = -3$; точка (0, -3)
• при $x = -1$, $y = -4(-1) - 3 = 4 - 3 = 1$; точка (-1, 1)

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Из построенных точек уже видно, что одна из них — (-1, 1). Найдём вторую точку. Подставим $x=-3$ в уравнение прямой: $y = -4(-3) - 3 = 12 - 3 = 9$. Точка (-3, 9) также принадлежит и параболе, так как $(-3)^2 = 9$.

Таким образом, точки пересечения графиков — (-1, 1) и (-3, 9). Абсциссы этих точек, $x = -1$ и $x = -3$, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1$.

2)

Чтобы решить уравнение $x^2 - 3x + 5 = 0$ графически, преобразуем его, перенеся часть слагаемых в правую часть: $x^2 = 3x - 5$. Теперь построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 3x - 5$.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = 3x - 5$ — прямая линия. Построим её по двум точкам:

• при $x = 1$, $y = 3(1) - 5 = -2$; точка (1, -2)
• при $x = 2$, $y = 3(2) - 5 = 1$; точка (2, 1)

Построив графики параболы и прямой в одной системе координат, можно увидеть, что они не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Альтернативный способ — построить график функции $y = x^2 - 3x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты её вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. $y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) + 5 = 2.25 - 4.5 + 5 = 2.75$. Вершина параболы находится в точке (1.5, 2.75). Так как ветви параболы направлены вверх, а её наименьшее значение $y=2.75$ больше нуля, график функции не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$).

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

3)

Чтобы решить уравнение $x^2 + \frac{1}{x} = 0$ графически, сначала отметим, что область допустимых значений $x \neq 0$. Преобразуем уравнение к виду $x^2 = -\frac{1}{x}$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = -\frac{1}{x}$.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0) и ветвями вверх. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

2. График функции $y = -\frac{1}{x}$ — гипербола. Её ветви расположены во второй и четвёртой координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Для нахождения решения нам нужно найти точки пересечения этих графиков. Парабола $y = x^2$ находится в первой и второй четвертях ($y \ge 0$). Гипербола $y = -\frac{1}{x}$ положительна во второй четверти (где $x < 0$) и отрицательна в четвёртой (где $x > 0$). Следовательно, пересечение графиков возможно только во второй координатной четверти, где $x < 0$.

Построим графики по точкам. Для $y = x^2$ при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка (-1, 1). Для $y = -\frac{1}{x}$ при $x = -1$, $y = -\frac{1}{-1} = 1$. Точка (-1, 1). Мы видим, что графики пересекаются в точке (-1, 1).

При $x \to -\infty$ парабола растёт до $+\infty$, а гипербола стремится к 0. При $x \to 0^-$ парабола стремится к 0, а гипербола — к $+\infty$. Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$, они могут пересечься только в одной точке. Мы нашли эту точку — (-1, 1).

Абсцисса точки пересечения $x = -1$ и является решением уравнения.

Ответ: $x = -1$.