Номер 12.31, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.31, страница 100.

Условие.

12.31. При каких значениях параметра $a$ множество корней уравнения $|x - 3| + |x - a| = a - 3$ содержит одно чётное число?

Решение.

Рассмотрим данное уравнение: $|x - 3| + |x - a| = a - 3$.

Левая часть уравнения, $|x - 3| + |x - a|$, является суммой модулей и, следовательно, всегда неотрицательна. Это означает, что правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$a - 3 \ge 0$, откуда следует, что $a \ge 3$.

При $a < 3$ правая часть становится отрицательной, и уравнение не имеет решений.

Для решения уравнения при $a \ge 3$ воспользуемся свойством абсолютных величин. Заметим, что правую часть уравнения можно представить в виде суммы выражений, связанных с подмодульными выражениями:

$a - 3 = (a - x) + (x - 3)$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$|x - 3| + |x - a| = (x - 3) + (a - x)$

Поскольку $|x - a| = |a - x|$, уравнение принимает вид:

$|x - 3| + |a - x| = (x - 3) + (a - x)$

Это равенство имеет вид $|A| + |B| = A + B$, где $A = x - 3$ и $B = a - x$. Такое равенство истинно тогда и только тогда, когда оба слагаемых неотрицательны, то есть $A \ge 0$ и $B \ge 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ a - x \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le a \end{cases}$

Следовательно, множеством корней уравнения является отрезок $[3, a]$. Это множество непустое, поскольку мы уже установили, что $a \ge 3$.

Теперь необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых множество корней, то есть отрезок $[3, a]$, содержит ровно одно чётное число.

Чётные целые числа, которые больше или равны 3, это $4, 6, 8, 10, \ldots$.

Чтобы отрезок $[3, a]$ содержал ровно одно чётное число, это число должно быть наименьшим из возможных, то есть 4. Для этого должны выполняться два условия:

1. Число 4 должно принадлежать отрезку $[3, a]$. Это означает, что $3 \le 4 \le a$, что равносильно $a \ge 4$.

2. Следующее чётное число, 6, не должно принадлежать отрезку $[3, a]$. Это означает, что $a$ должно быть строго меньше 6, то есть $a < 6$.

Объединяя оба условия, получаем итоговый диапазон для параметра $a$:

$4 \le a < 6$.

При $a$, принадлежащем этому полуинтервалу, множество решений $[3, a]$ будет содержать единственное чётное число 4.

Ответ: $a \in [4; 6)$.