Номер 12.26, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.26, страница 99.

Условие.

12.26. Постройте график функции:

1) $y = |x+3| + |x-1|$;

2) $y = 2|x-2| - |x-1|$.

Решение.

1)

Для построения графика функции $y = |x + 3| + |x - 1|$ необходимо раскрыть модули. Значения, при которых выражения под модулем обращаются в ноль, это $x = -3$ и $x = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Рассмотрим каждый из них.

• При $x < -3$ оба выражения под модулями отрицательны, поэтому $|x + 3| = -(x + 3)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид: $y = -(x + 3) - (x - 1) = -x - 3 - x + 1 = -2x - 2$. Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек. Например, при $x = -4$, $y = -2(-4) - 2 = 6$. В граничной точке $x = -3$, $y = -2(-3) - 2 = 4$. Таким образом, это луч, выходящий из точки $(-3, 4)$ и проходящий через $(-4, 6)$.

• При $-3 \le x < 1$ выражение $x+3$ неотрицательно, а $x-1$ отрицательно. Имеем $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид: $y = (x + 3) - (x - 1) = x + 3 - x + 1 = 4$. Графиком на этом участке является отрезок горизонтальной прямой $y=4$, соединяющий точки $(-3, 4)$ и $(1, 4)$.

• При $x \ge 1$ оба выражения под модулями неотрицательны, поэтому $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид: $y = (x + 3) + (x - 1) = 2x + 2$. Графиком является луч. В граничной точке $x = 1$, $y = 2(1) + 2 = 4$. Возьмем еще одну точку, например, при $x = 2$, $y = 2(2) + 2 = 6$. Таким образом, это луч, выходящий из точки $(1, 4)$ и проходящий через $(2, 6)$.

Соединив все три части, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x + 3| + |x - 1|$ представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей. Для $x < -3$ это луч $y = -2x - 2$, для $-3 \le x \le 1$ это отрезок прямой $y=4$, и для $x > 1$ это луч $y = 2x + 2$. Точки излома графика — $(-3, 4)$ и $(1, 4)$.

---

2)

Для построения графика функции $y = 2|x - 2| - |x - 1|$ раскроем модули. Выражения под модулями обращаются в ноль при $x = 1$ и $x = 2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

• При $x < 1$ оба выражения под модулями отрицательны, поэтому $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид: $y = 2(-(x - 2)) - (-(x - 1)) = -2x + 4 + x - 1 = -x + 3$. Это луч. В граничной точке $x = 1$, $y = -1 + 3 = 2$. При $x = 0$, $y = 3$. Таким образом, это луч, выходящий из точки $(1, 2)$ и проходящий через $(0, 3)$.

• При $1 \le x < 2$ выражение $x-1$ неотрицательно, а $x-2$ отрицательно. Имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = -(x - 2)$. Функция принимает вид: $y = 2(-(x - 2)) - (x - 1) = -2x + 4 - x + 1 = -3x + 5$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 2)$ и $(2, -1)$, так как при $x=1$, $y = -3(1)+5=2$ и при $x=2$, $y = -3(2)+5 = -1$.

• При $x \ge 2$ оба выражения под модулями неотрицательны, поэтому $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид: $y = 2(x - 2) - (x - 1) = 2x - 4 - x + 1 = x - 3$. Это луч. В граничной точке $x = 2$, $y = 2 - 3 = -1$. При $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Таким образом, это луч, выходящий из точки $(2, -1)$ и проходящий через $(3, 0)$.

Соединив все три части, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = 2|x - 2| - |x - 1|$ представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей. Для $x < 1$ это луч $y = -x + 3$, для $1 \le x < 2$ это отрезок $y = -3x + 5$, и для $x \ge 2$ это луч $y = x - 3$. Точки излома графика — $(1, 2)$ и $(2, -1)$.