Номер 12.19, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.19, страница 98.

Условие.

12.19. Решите уравнение:

1) $|x + 2| = 2(3 - x)$;

2) $|3x - 1| = x + 1$;

3) $|3x + 1| = 4x - 1$.

Решение.

1) $|x + 2| = 2(3 - x)$
Поскольку левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам условие:
$2(3 - x) \ge 0$
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$
При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений, которые получаются при раскрытии модуля:
а) $x + 2 = 2(3 - x)$
$x + 2 = 6 - 2x$
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Этот корень удовлетворяет условию $x \le 3$, так как $1\frac{1}{3} \le 3$.
б) $x + 2 = -(2(3 - x))$
$x + 2 = -6 + 2x$
$8 = x$
Этот корень не удовлетворяет условию $x \le 3$, так как $8 > 3$.
Таким образом, единственным решением является $x = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) $|3x - 1| = x + 1$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, что дает условие:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$
При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
а) $3x - 1 = x + 1$
$2x = 2$
$x = 1$
Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1$.
б) $3x - 1 = -(x + 1)$
$3x - 1 = -x - 1$
$4x = 0$
$x = 0$
Этот корень также удовлетворяет условию $x \ge -1$.
Оба найденных значения являются решениями.
Ответ: $0; 1$.

3) $|3x + 1| = 4x - 1$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, что дает условие:
$4x - 1 \ge 0$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$
При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
а) $3x + 1 = 4x - 1$
$1 + 1 = 4x - 3x$
$x = 2$
Этот корень удовлетворяет условию $x \ge \frac{1}{4}$.
б) $3x + 1 = -(4x - 1)$
$3x + 1 = -4x + 1$
$7x = 0$
$x = 0$
Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge \frac{1}{4}$, так как $0 < \frac{1}{4}$.
Таким образом, единственным решением является $x = 2$.
Ответ: $2$.