Номер 12.14, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.14, страница 98.

Условие.

12.14. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} |x+y-4|=\pi, \\ |x-3|+|y-1|=3. \end{cases} $

Решение.

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} |x + y - 4| = \pi, \\ |x - 3| + |y - 1| = 3. \end{cases} $$

Проанализируем второе уравнение системы, $|x - 3| + |y - 1| = 3$. Геометрически оно представляет собой контур квадрата на координатной плоскости. Центр этого квадрата находится в точке $(3; 1)$. Вершины квадрата можно найти, сместившись от центра на $3$ единицы вдоль осей координат.

Координаты вершин квадрата:

• Верхняя вершина: $(3, 1+3) = (3, 4)$
• Нижняя вершина: $(3, 1-3) = (3, -2)$
• Правая вершина: $(3+3, 1) = (6, 1)$
• Левая вершина: $(3-3, 1) = (0, 1)$

Теперь определим, какие значения может принимать выражение $x+y$ для точек $(x, y)$, лежащих на сторонах этого квадрата. Поскольку $x+y$ является линейной функцией, ее наибольшее и наименьшее значения на выпуклом многоугольнике (в данном случае, квадрате) достигаются в его вершинах.

Вычислим значения суммы $x+y$ в каждой из вершин:

• Для точки $(3, 4)$: $x+y = 3+4=7$
• Для точки $(3, -2)$: $x+y = 3+(-2)=1$
• Для точки $(6, 1)$: $x+y = 6+1=7$
• Для точки $(0, 1)$: $x+y = 0+1=1$

Таким образом, для любой точки $(x, y)$, удовлетворяющей второму уравнению, значение выражения $x+y$ находится в пределах от $1$ до $7$ включительно, то есть $1 \le x+y \le 7$.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $|x + y - 4| = \pi$.

По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. $x + y - 4 = \pi$, откуда $x+y = 4+\pi$.
2. $x + y - 4 = -\pi$, откуда $x+y = 4-\pi$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы хотя бы одно из найденных значений для суммы $x+y$ попадало в отрезок $[1, 7]$, который мы получили из анализа второго уравнения.

Оценим оба возможных значения суммы, используя известное свойство числа $\pi$: $\pi > 3$.

1. Рассмотрим случай $x+y = 4+\pi$.
Поскольку $\pi > 3$, то $x+y = 4+\pi > 4+3 = 7$.
Это значение не принадлежит отрезку $[1, 7]$.

2. Рассмотрим случай $x+y = 4-\pi$.
Поскольку $\pi > 3$, то $x+y = 4-\pi < 4-3 = 1$.
Это значение также не принадлежит отрезку $[1, 7]$.

Так как ни одно из возможных значений суммы $x+y$, следующих из первого уравнения, не удовлетворяет ограничению, накладываемому вторым уравнением, то общих решений у уравнений нет. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.