Номер 12.15, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.15, страница 98.

Условие.

12.15. Решите уравнение:

1) $||x| - 2| = 2;$

2) $||x| + 2| = 1.$

Решение.

1) $||x| - 2| = 2$

Уравнение вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

В данном случае $A = |x| - 2$ и $B = 2$. Уравнение распадается на два случая:

1. $|x| - 2 = 2$

2. $|x| - 2 = -2$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Решим первое уравнение:

$|x| - 2 = 2$

$|x| = 2 + 2$

$|x| = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

2. Решим второе уравнение:

$|x| - 2 = -2$

$|x| = -2 + 2$

$|x| = 0$

Это уравнение имеет один корень: $x_3 = 0$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $-4; 0; 4$.

2) $||x| + 2| = 1$

Рассмотрим выражение, находящееся под внешним знаком модуля: $|x| + 2$.

По определению, абсолютная величина (модуль) любого действительного числа $x$ является неотрицательной, то есть $|x| \ge 0$.

Следовательно, сумма $|x| + 2$ всегда будет положительным числом, и более того, $|x| + 2 \ge 2$.

Поскольку выражение $|x| + 2$ всегда положительно, то модуль этого выражения равен самому выражению:

$||x| + 2| = |x| + 2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$|x| + 2 = 1$

Теперь выразим $|x|$:

$|x| = 1 - 2$

$|x| = -1$

Модуль числа не может быть отрицательным. Полученное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.