Номер 12.16, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.16, страница 98.

Условие.

12.16. Решите уравнение:

1) $||x| - 3| = 1$;

2) $||x| + 1| = 1$.

Решение.

1) $||x| - 3| = 1$

Это уравнение с модулем в модуле. Раскроем внешний модуль. Уравнение вида $|A| = c$, где $c > 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ или $A = -c$.

Таким образом, мы получаем два отдельных уравнения:

а) $|x| - 3 = 1$

Перенесем -3 в правую часть:

$|x| = 1 + 3$

$|x| = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x = 4$ и $x = -4$.

б) $|x| - 3 = -1$

Перенесем -3 в правую часть:

$|x| = -1 + 3$

$|x| = 2$

Это уравнение также имеет два корня: $x = 2$ и $x = -2$.

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-4; -2; 2; 4$.

2) $||x| + 1| = 1$

Рассмотрим выражение, стоящее под внешним знаком модуля: $|x| + 1$.

По определению, модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.

Следовательно, выражение $|x| + 1$ всегда будет строго положительным, так как $|x| + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Модуль положительного числа равен самому этому числу. Поэтому внешний знак модуля можно просто убрать:

$|x| + 1 = 1$

Теперь решим это простое уравнение. Вычтем 1 из обеих частей:

$|x| = 1 - 1$

$|x| = 0$

Единственное число, модуль которого равен нулю, — это сам ноль.

$x = 0$

Ответ: $0$.