Номер 12.22, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.22, страница 99.
№12.22 (с. 99)
Условие. №12.22 (с. 99)
скриншот условия
 
                                12.22. Решите уравнение:
1) $|x - 2| + |x - 4| = 3$;
2) $|x - 2| - 3 |3 - x| + x = 0$;
3) $|4 - x| + |2x - 2| = 5 - 2x$;
4) $|x| - 2|x + 1| = 5$;
5) $|x| + |3x + 2| + |2x - 1| = 5$;
6) $|x| + |x - 6| = 6$;
7) $|x + 2| - |x - 3| = 5$;
8) $|5x - 2| - |7x - 3| + 2x = 1$;
9) $\frac{|x - 2|}{|x - 1| - 1} = 1$;
10) $\frac{|x - 3| + |x - 1| - 2}{|x - 1| - |x| + 1} = 1$.
Решение. №12.22 (с. 99)
1) $|x - 2| + |x - 4| = 3$
Решим уравнение методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ и $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < 2$:
Оба выражения под модулями отрицательны, поэтому $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.
Уравнение принимает вид: $(2 - x) + (4 - x) = 3$
$6 - 2x = 3$
$2x = 3$
$x = 1,5$.
Так как $1,5 < 2$, это решение подходит.
2. При $2 \le x < 4$:
Выражение $x - 2 \ge 0$, а $x - 4 < 0$. Поэтому $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.
Уравнение принимает вид: $(x - 2) + (4 - x) = 3$
$2 = 3$.
Получено неверное равенство, следовательно, в этом интервале корней нет.
3. При $x \ge 4$:
Оба выражения под модулями неотрицательны, поэтому $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 4| = x - 4$.
Уравнение принимает вид: $(x - 2) + (x - 4) = 3$
$2x - 6 = 3$
$2x = 9$
$x = 4,5$.
Так как $4,5 \ge 4$, это решение подходит.
Ответ: $1,5; 4,5$.
2) $|x - 2| - 3|3 - x| + x = 0$
Заметим, что $|3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$. Уравнение можно переписать в виде: $|x - 2| - 3|x - 3| + x = 0$.
Нули подмодульных выражений: $x = 2$ и $x = 3$.
1. При $x < 2$:
$(2 - x) - 3(3 - x) + x = 0$
$2 - x - 9 + 3x + x = 0$
$3x - 7 = 0 \implies x = 7/3$.
$7/3 \approx 2,33$, что не входит в интервал $x < 2$. Решений нет.
2. При $2 \le x < 3$:
$(x - 2) - 3(3 - x) + x = 0$
$x - 2 - 9 + 3x + x = 0$
$5x - 11 = 0 \implies x = 11/5 = 2,2$.
$2,2$ принадлежит интервалу $[2; 3)$, поэтому является корнем.
3. При $x \ge 3$:
$(x - 2) - 3(x - 3) + x = 0$
$x - 2 - 3x + 9 + x = 0$
$-x + 7 = 0 \implies x = 7$.
$7$ принадлежит интервалу $[3; +\infty)$, поэтому является корнем.
Ответ: $2,2; 7$.
3) $|4 - x| + |2x - 2| = 5 - 2x$
Поскольку левая часть уравнения неотрицательна (сумма модулей), правая часть также должна быть неотрицательной: $5 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 5 \implies x \le 2,5$. Будем искать решения только в этой области.
Нули подмодульных выражений: $4 - x = 0 \implies x = 4$ и $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
Учитывая ОДЗ $x \le 2,5$, рассматриваем два интервала.
1. При $x < 1$:
$(4 - x) + (-(2x - 2)) = 5 - 2x$
$4 - x - 2x + 2 = 5 - 2x$
$6 - 3x = 5 - 2x \implies x = 1$.
Значение $x=1$ не входит в интервал $x < 1$.
2. При $1 \le x \le 2,5$:
$(4 - x) + (2x - 2) = 5 - 2x$
$x + 2 = 5 - 2x$
$3x = 3 \implies x = 1$.
Значение $x=1$ входит в интервал $[1; 2,5]$, следовательно, является корнем.
Ответ: $1$.
4) $|x| - 2|x + 1| = 5$
Нули подмодульных выражений: $x = 0$ и $x = -1$.
1. При $x < -1$:
$-x - 2(-(x + 1)) = 5$
$-x + 2x + 2 = 5 \implies x = 3$.
$3$ не входит в интервал $(-\infty; -1)$.
2. При $-1 \le x < 0$:
$-x - 2(x + 1) = 5$
$-x - 2x - 2 = 5 \implies -3x = 7 \implies x = -7/3$.
$-7/3 \approx -2,33$ не входит в интервал $[-1; 0)$.
3. При $x \ge 0$:
$x - 2(x + 1) = 5$
$x - 2x - 2 = 5 \implies -x = 7 \implies x = -7$.
$-7$ не входит в интервал $[0; +\infty)$.
Во всех интервалах решений нет.
Ответ: нет корней.
5) $|x| + |3x + 2| + |2x - 1| = 5$
Нули подмодульных выражений: $x = 0$, $x = -2/3$, $x = 1/2$.
1. При $x < -2/3$:
$-x - (3x + 2) - (2x - 1) = 5$
$-x - 3x - 2 - 2x + 1 = 5 \implies -6x - 1 = 5 \implies -6x = 6 \implies x = -1$.
$-1 < -2/3$, корень подходит.
2. При $-2/3 \le x < 0$:
$-x + (3x + 2) - (2x - 1) = 5$
$-x + 3x + 2 - 2x + 1 = 5 \implies 3 = 5$.
Неверное равенство, корней нет.
3. При $0 \le x < 1/2$:
$x + (3x + 2) - (2x - 1) = 5$
$x + 3x + 2 - 2x + 1 = 5 \implies 2x + 3 = 5 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
$1$ не входит в интервал $[0; 1/2)$.
4. При $x \ge 1/2$:
$x + (3x + 2) + (2x - 1) = 5$
$6x + 1 = 5 \implies 6x = 4 \implies x = 4/6 = 2/3$.
$2/3 > 1/2$, корень подходит.
Ответ: $-1; 2/3$.
6) $|x| + |x - 6| = 6$
Нули подмодульных выражений: $x = 0$ и $x = 6$.
1. При $x < 0$:
$-x + (-(x - 6)) = 6 \implies -x - x + 6 = 6 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.
$0$ не входит в интервал $(-\infty; 0)$.
2. При $0 \le x < 6$:
$x + (-(x - 6)) = 6 \implies x - x + 6 = 6 \implies 6 = 6$.
Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [0; 6)$.
3. При $x \ge 6$:
$x + (x - 6) = 6 \implies 2x - 6 = 6 \implies 2x = 12 \implies x = 6$.
$6$ входит в интервал $[6; +\infty)$.
Объединяя решения из пунктов 2 и 3, получаем отрезок $[0; 6]$.
Ответ: $[0; 6]$.
7) $|x + 2| - |x - 3| = 5$
Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 3$.
1. При $x < -2$:
$-(x + 2) - (-(x - 3)) = 5 \implies -x - 2 + x - 3 = 5 \implies -5 = 5$.
Неверное равенство, корней нет.
2. При $-2 \le x < 3$:
$(x + 2) - (-(x - 3)) = 5 \implies x + 2 + x - 3 = 5 \implies 2x - 1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.
$3$ не входит в интервал $[-2; 3)$.
3. При $x \ge 3$:
$(x + 2) - (x - 3) = 5 \implies x + 2 - x + 3 = 5 \implies 5 = 5$.
Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [3; +\infty)$.
Ответ: $[3; +\infty)$.
8) $|5x - 2| - |7x - 3| + 2x = 1$
Нули подмодульных выражений: $5x - 2 = 0 \implies x = 2/5 = 0,4$ и $7x - 3 = 0 \implies x = 3/7 \approx 0,428$.
1. При $x < 2/5$:
$-(5x - 2) - (-(7x - 3)) + 2x = 1$
$-5x + 2 + 7x - 3 + 2x = 1 \implies 4x - 1 = 1 \implies 4x = 2 \implies x = 1/2$.
$1/2 = 0,5$, что больше $2/5=0,4$. Решений нет.
2. При $2/5 \le x < 3/7$:
$(5x - 2) - (-(7x - 3)) + 2x = 1$
$5x - 2 + 7x - 3 + 2x = 1 \implies 14x - 5 = 1 \implies 14x = 6 \implies x = 6/14 = 3/7$.
$3/7$ не входит в интервал $[2/5; 3/7)$.
3. При $x \ge 3/7$:
$(5x - 2) - (7x - 3) + 2x = 1$
$5x - 2 - 7x + 3 + 2x = 1 \implies 1 = 1$.
Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [3/7; +\infty)$.
Ответ: $[3/7; +\infty)$.
9) $\frac{|x - 2|}{|x - 1| - 1} = 1$
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$|x - 1| - 1 \ne 0 \implies |x - 1| \ne 1$.
Это означает $x - 1 \ne 1$ и $x - 1 \ne -1$, то есть $x \ne 2$ и $x \ne 0$.
Решаем уравнение: $|x - 2| = |x - 1| - 1 \implies |x - 1| - |x - 2| = 1$.
Нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = 2$.
1. При $x < 1$:
$-(x - 1) - (-(x - 2)) = 1 \implies -x + 1 + x - 2 = 1 \implies -1 = 1$.
Неверно, корней нет.
2. При $1 \le x < 2$:
$(x - 1) - (-(x - 2)) = 1 \implies x - 1 + x - 2 = 1 \implies 2x - 3 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$2$ не входит в интервал $[1; 2)$.
3. При $x \ge 2$:
$(x - 1) - (x - 2) = 1 \implies x - 1 - x + 2 = 1 \implies 1 = 1$.
Равенство верно для всех $x \ge 2$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne 2$), получаем решение $x > 2$.
Ответ: $(2; +\infty)$.
10) $\frac{|x - 3| + |x - 1| - 2}{|x - 1| - |x| + 1} = 1$
ОДЗ: знаменатель не равен нулю. $|x - 1| - |x| + 1 \ne 0$.
Рассмотрим знаменатель. При $x \ge 1$, он равен $(x - 1) - x + 1 = 0$. Значит, $x$ не может быть больше или равно 1. ОДЗ: $x < 1$.
При $x < 1$, уравнение равносильно $|x - 3| + |x - 1| - 2 = |x - 1| - |x| + 1$.
$|x - 3| - 2 = -|x| + 1$
$|x - 3| + |x| = 3$.
Решаем это уравнение с учетом ОДЗ $x < 1$. Нули подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = 0$.
1. При $x < 0$ (что удовлетворяет ОДЗ):
$-(x - 3) + (-x) = 3 \implies -x + 3 - x = 3 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.
$0$ не входит в интервал $(-\infty; 0)$.
2. При $0 \le x < 1$ (что удовлетворяет ОДЗ):
$-(x - 3) + x = 3 \implies -x + 3 + x = 3 \implies 3 = 3$.
Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [0; 1)$.
Ответ: $[0; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 12.22 расположенного на странице 99 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.22 (с. 99), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    