Номер 12.22, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.22, страница 99.

Условие.

12.22. Решите уравнение:

1) $|x - 2| + |x - 4| = 3$;

2) $|x - 2| - 3 |3 - x| + x = 0$;

3) $|4 - x| + |2x - 2| = 5 - 2x$;

4) $|x| - 2|x + 1| = 5$;

5) $|x| + |3x + 2| + |2x - 1| = 5$;

6) $|x| + |x - 6| = 6$;

7) $|x + 2| - |x - 3| = 5$;

8) $|5x - 2| - |7x - 3| + 2x = 1$;

9) $\frac{|x - 2|}{|x - 1| - 1} = 1$;

10) $\frac{|x - 3| + |x - 1| - 2}{|x - 1| - |x| + 1} = 1$.

Решение.

1) $|x - 2| + |x - 4| = 3$

Решим уравнение методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ и $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.

1. При $x < 2$:

Оба выражения под модулями отрицательны, поэтому $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.

Уравнение принимает вид: $(2 - x) + (4 - x) = 3$

$6 - 2x = 3$

$2x = 3$

$x = 1,5$.

Так как $1,5 < 2$, это решение подходит.

2. При $2 \le x < 4$:

Выражение $x - 2 \ge 0$, а $x - 4 < 0$. Поэтому $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.

Уравнение принимает вид: $(x - 2) + (4 - x) = 3$

$2 = 3$.

Получено неверное равенство, следовательно, в этом интервале корней нет.

3. При $x \ge 4$:

Оба выражения под модулями неотрицательны, поэтому $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 4| = x - 4$.

Уравнение принимает вид: $(x - 2) + (x - 4) = 3$

$2x - 6 = 3$

$2x = 9$

$x = 4,5$.

Так как $4,5 \ge 4$, это решение подходит.

Ответ: $1,5; 4,5$.

2) $|x - 2| - 3|3 - x| + x = 0$

Заметим, что $|3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$. Уравнение можно переписать в виде: $|x - 2| - 3|x - 3| + x = 0$.

Нули подмодульных выражений: $x = 2$ и $x = 3$.

1. При $x < 2$:

$(2 - x) - 3(3 - x) + x = 0$

$2 - x - 9 + 3x + x = 0$

$3x - 7 = 0 \implies x = 7/3$.

$7/3 \approx 2,33$, что не входит в интервал $x < 2$. Решений нет.

2. При $2 \le x < 3$:

$(x - 2) - 3(3 - x) + x = 0$

$x - 2 - 9 + 3x + x = 0$

$5x - 11 = 0 \implies x = 11/5 = 2,2$.

$2,2$ принадлежит интервалу $[2; 3)$, поэтому является корнем.

3. При $x \ge 3$:

$(x - 2) - 3(x - 3) + x = 0$

$x - 2 - 3x + 9 + x = 0$

$-x + 7 = 0 \implies x = 7$.

$7$ принадлежит интервалу $[3; +\infty)$, поэтому является корнем.

Ответ: $2,2; 7$.

3) $|4 - x| + |2x - 2| = 5 - 2x$

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна (сумма модулей), правая часть также должна быть неотрицательной: $5 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 5 \implies x \le 2,5$. Будем искать решения только в этой области.

Нули подмодульных выражений: $4 - x = 0 \implies x = 4$ и $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.

Учитывая ОДЗ $x \le 2,5$, рассматриваем два интервала.

1. При $x < 1$:

$(4 - x) + (-(2x - 2)) = 5 - 2x$

$4 - x - 2x + 2 = 5 - 2x$

$6 - 3x = 5 - 2x \implies x = 1$.

Значение $x=1$ не входит в интервал $x < 1$.

2. При $1 \le x \le 2,5$:

$(4 - x) + (2x - 2) = 5 - 2x$

$x + 2 = 5 - 2x$

$3x = 3 \implies x = 1$.

Значение $x=1$ входит в интервал $[1; 2,5]$, следовательно, является корнем.

Ответ: $1$.

4) $|x| - 2|x + 1| = 5$

Нули подмодульных выражений: $x = 0$ и $x = -1$.

1. При $x < -1$:

$-x - 2(-(x + 1)) = 5$

$-x + 2x + 2 = 5 \implies x = 3$.

$3$ не входит в интервал $(-\infty; -1)$.

2. При $-1 \le x < 0$:

$-x - 2(x + 1) = 5$

$-x - 2x - 2 = 5 \implies -3x = 7 \implies x = -7/3$.

$-7/3 \approx -2,33$ не входит в интервал $[-1; 0)$.

3. При $x \ge 0$:

$x - 2(x + 1) = 5$

$x - 2x - 2 = 5 \implies -x = 7 \implies x = -7$.

$-7$ не входит в интервал $[0; +\infty)$.

Во всех интервалах решений нет.

Ответ: нет корней.

5) $|x| + |3x + 2| + |2x - 1| = 5$

Нули подмодульных выражений: $x = 0$, $x = -2/3$, $x = 1/2$.

1. При $x < -2/3$:

$-x - (3x + 2) - (2x - 1) = 5$

$-x - 3x - 2 - 2x + 1 = 5 \implies -6x - 1 = 5 \implies -6x = 6 \implies x = -1$.

$-1 < -2/3$, корень подходит.

2. При $-2/3 \le x < 0$:

$-x + (3x + 2) - (2x - 1) = 5$

$-x + 3x + 2 - 2x + 1 = 5 \implies 3 = 5$.

Неверное равенство, корней нет.

3. При $0 \le x < 1/2$:

$x + (3x + 2) - (2x - 1) = 5$

$x + 3x + 2 - 2x + 1 = 5 \implies 2x + 3 = 5 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

$1$ не входит в интервал $[0; 1/2)$.

4. При $x \ge 1/2$:

$x + (3x + 2) + (2x - 1) = 5$

$6x + 1 = 5 \implies 6x = 4 \implies x = 4/6 = 2/3$.

$2/3 > 1/2$, корень подходит.

Ответ: $-1; 2/3$.

6) $|x| + |x - 6| = 6$

Нули подмодульных выражений: $x = 0$ и $x = 6$.

1. При $x < 0$:

$-x + (-(x - 6)) = 6 \implies -x - x + 6 = 6 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

$0$ не входит в интервал $(-\infty; 0)$.

2. При $0 \le x < 6$:

$x + (-(x - 6)) = 6 \implies x - x + 6 = 6 \implies 6 = 6$.

Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [0; 6)$.

3. При $x \ge 6$:

$x + (x - 6) = 6 \implies 2x - 6 = 6 \implies 2x = 12 \implies x = 6$.

$6$ входит в интервал $[6; +\infty)$.

Объединяя решения из пунктов 2 и 3, получаем отрезок $[0; 6]$.

Ответ: $[0; 6]$.

7) $|x + 2| - |x - 3| = 5$

Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 3$.

1. При $x < -2$:

$-(x + 2) - (-(x - 3)) = 5 \implies -x - 2 + x - 3 = 5 \implies -5 = 5$.

Неверное равенство, корней нет.

2. При $-2 \le x < 3$:

$(x + 2) - (-(x - 3)) = 5 \implies x + 2 + x - 3 = 5 \implies 2x - 1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

$3$ не входит в интервал $[-2; 3)$.

3. При $x \ge 3$:

$(x + 2) - (x - 3) = 5 \implies x + 2 - x + 3 = 5 \implies 5 = 5$.

Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: $[3; +\infty)$.

8) $|5x - 2| - |7x - 3| + 2x = 1$

Нули подмодульных выражений: $5x - 2 = 0 \implies x = 2/5 = 0,4$ и $7x - 3 = 0 \implies x = 3/7 \approx 0,428$.

1. При $x < 2/5$:

$-(5x - 2) - (-(7x - 3)) + 2x = 1$

$-5x + 2 + 7x - 3 + 2x = 1 \implies 4x - 1 = 1 \implies 4x = 2 \implies x = 1/2$.

$1/2 = 0,5$, что больше $2/5=0,4$. Решений нет.

2. При $2/5 \le x < 3/7$:

$(5x - 2) - (-(7x - 3)) + 2x = 1$

$5x - 2 + 7x - 3 + 2x = 1 \implies 14x - 5 = 1 \implies 14x = 6 \implies x = 6/14 = 3/7$.

$3/7$ не входит в интервал $[2/5; 3/7)$.

3. При $x \ge 3/7$:

$(5x - 2) - (7x - 3) + 2x = 1$

$5x - 2 - 7x + 3 + 2x = 1 \implies 1 = 1$.

Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [3/7; +\infty)$.

Ответ: $[3/7; +\infty)$.

9) $\frac{|x - 2|}{|x - 1| - 1} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.

$|x - 1| - 1 \ne 0 \implies |x - 1| \ne 1$.

Это означает $x - 1 \ne 1$ и $x - 1 \ne -1$, то есть $x \ne 2$ и $x \ne 0$.

Решаем уравнение: $|x - 2| = |x - 1| - 1 \implies |x - 1| - |x - 2| = 1$.

Нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = 2$.

1. При $x < 1$:

$-(x - 1) - (-(x - 2)) = 1 \implies -x + 1 + x - 2 = 1 \implies -1 = 1$.

Неверно, корней нет.

2. При $1 \le x < 2$:

$(x - 1) - (-(x - 2)) = 1 \implies x - 1 + x - 2 = 1 \implies 2x - 3 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

$2$ не входит в интервал $[1; 2)$.

3. При $x \ge 2$:

$(x - 1) - (x - 2) = 1 \implies x - 1 - x + 2 = 1 \implies 1 = 1$.

Равенство верно для всех $x \ge 2$.

Учитывая ОДЗ ($x \ne 2$), получаем решение $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

10) $\frac{|x - 3| + |x - 1| - 2}{|x - 1| - |x| + 1} = 1$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю. $|x - 1| - |x| + 1 \ne 0$.

Рассмотрим знаменатель. При $x \ge 1$, он равен $(x - 1) - x + 1 = 0$. Значит, $x$ не может быть больше или равно 1. ОДЗ: $x < 1$.

При $x < 1$, уравнение равносильно $|x - 3| + |x - 1| - 2 = |x - 1| - |x| + 1$.

$|x - 3| - 2 = -|x| + 1$

$|x - 3| + |x| = 3$.

Решаем это уравнение с учетом ОДЗ $x < 1$. Нули подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = 0$.

1. При $x < 0$ (что удовлетворяет ОДЗ):

$-(x - 3) + (-x) = 3 \implies -x + 3 - x = 3 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

$0$ не входит в интервал $(-\infty; 0)$.

2. При $0 \le x < 1$ (что удовлетворяет ОДЗ):

$-(x - 3) + x = 3 \implies -x + 3 + x = 3 \implies 3 = 3$.

Равенство верно для всех $x$ из этого интервала, т.е. $x \in [0; 1)$.

Ответ: $[0; 1)$.