Номер 12.24, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.24, страница 99.

Условие.

12.24. Решите неравенство:

1) $|x+1|+|x+2|>2x+3;$

2) $2|x-3|+|x+1|\leq3x+1;$

3) $|x+1|+|x-1|\leq2;$

4) $|x|-2|x-2|+3|x+5|\geq2x.$

Решение.

1)

Решим неравенство $|x + 1| + |x + 2| > 2x + 3$.

Для решения неравенства с модулями используем метод интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $[-2; -1)$ и $[-1; +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty; -2)$

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x+1 < 0$ и $x+2 < 0$. Раскрываем модули со знаком минус:

$-(x+1) - (x+2) > 2x + 3$

$-x - 1 - x - 2 > 2x + 3$

$-2x - 3 > 2x + 3$

$-4x > 6$

$x < -6/4 \Rightarrow x < -1.5$

Пересекая полученное решение с условием $x < -2$, получаем, что весь интервал $(-\infty; -2)$ является решением.

Случай 2: $x \in [-2; -1)$

В этом интервале $x+1 < 0$ и $x+2 \ge 0$. Раскрываем модули:

$-(x+1) + (x+2) > 2x + 3$

$-x - 1 + x + 2 > 2x + 3$

$1 > 2x + 3$

$-2 > 2x$

$x < -1$

Пересекая полученное решение с условием $-2 \le x < -1$, получаем, что весь интервал $[-2; -1)$ является решением.

Случай 3: $x \in [-1; +\infty)$

В этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x+1 \ge 0$ и $x+2 \ge 0$. Раскрываем модули со знаком плюс:

$(x+1) + (x+2) > 2x + 3$

$2x + 3 > 2x + 3$

$0 > 0$

Это неравенство неверно, следовательно, в данном интервале решений нет.

Объединяя решения из всех случаев, получаем: $(-\infty; -2) \cup [-2; -1) = (-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

2)

Решим неравенство $2|x - 3| + |x + 1| \le 3x + 1$.

Найдем нули подмодульных выражений: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Разобьем числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty; -1)$

В этом интервале $x-3 < 0$ и $x+1 < 0$.

$2(-(x-3)) + (-(x+1)) \le 3x + 1$

$2(3-x) - x - 1 \le 3x + 1$

$6 - 2x - x - 1 \le 3x + 1$

$5 - 3x \le 3x + 1$

$4 \le 6x$

$x \ge 2/3$

Система $x < -1$ и $x \ge 2/3$ не имеет решений.

Случай 2: $x \in [-1; 3)$

В этом интервале $x-3 < 0$ и $x+1 \ge 0$.

$2(-(x-3)) + (x+1) \le 3x + 1$

$6 - 2x + x + 1 \le 3x + 1$

$7 - x \le 3x + 1$

$6 \le 4x$

$x \ge 3/2 \Rightarrow x \ge 1.5$

Пересекая с условием $-1 \le x < 3$, получаем решение $[1.5; 3)$.

Случай 3: $x \in [3; +\infty)$

В этом интервале $x-3 \ge 0$ и $x+1 \ge 0$.

$2(x-3) + (x+1) \le 3x + 1$

$2x - 6 + x + 1 \le 3x + 1$

$3x - 5 \le 3x + 1$

$-5 \le 1$

Это неравенство верно для всех $x$. Решением является весь интервал $[3; +\infty)$.

Объединяя решения из всех случаев, получаем: $[1.5; 3) \cup [3; +\infty) = [1.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1.5; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $|x + 1| + |x - 1| \le 2$.

Найдем нули подмодульных выражений: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ и $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Разобьем числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 1)$ и $[1; +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty; -1)$

В этом интервале $x+1 < 0$ и $x-1 < 0$.

$-(x+1) - (x-1) \le 2$

$-x - 1 - x + 1 \le 2$

$-2x \le 2 \Rightarrow x \ge -1$

Система $x < -1$ и $x \ge -1$ не имеет решений.

Случай 2: $x \in [-1; 1)$

В этом интервале $x+1 \ge 0$ и $x-1 < 0$.

$(x+1) - (x-1) \le 2$

$x + 1 - x + 1 \le 2$

$2 \le 2$

Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-1; 1)$.

Случай 3: $x \in [1; +\infty)$

В этом интервале $x+1 \ge 0$ и $x-1 \ge 0$.

$(x+1) + (x-1) \le 2$

$2x \le 2 \Rightarrow x \le 1$

Пересекая с условием $x \ge 1$, получаем решение $x = 1$.

Объединяя решения из всех случаев, получаем: $[-1; 1) \cup \{1\} = [-1; 1]$.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

4)

Решим неравенство $|x| - 2|x - 2| + 3|x + 5| \ge 2x$.

Нули подмодульных выражений: $x = 0$, $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ и $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

Разобьем числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $[-5; 0)$, $[0; 2)$ и $[2; +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty; -5)$

В этом интервале $|x| = -x$, $|x-2| = -(x-2)$, $|x+5| = -(x+5)$.

$-x - 2(-(x-2)) + 3(-(x+5)) \ge 2x$

$-x - 2(2-x) - 3(x+5) \ge 2x$

$-x - 4 + 2x - 3x - 15 \ge 2x$

$-2x - 19 \ge 2x$

$-19 \ge 4x \Rightarrow x \le -19/4 \Rightarrow x \le -4.75$

Пересекая с условием $x < -5$, получаем решение $(-\infty; -5)$.

Случай 2: $x \in [-5; 0)$

В этом интервале $|x| = -x$, $|x-2| = -(x-2)$, $|x+5| = x+5$.

$-x - 2(-(x-2)) + 3(x+5) \ge 2x$

$-x - 4 + 2x + 3x + 15 \ge 2x$

$4x + 11 \ge 2x$

$2x \ge -11 \Rightarrow x \ge -5.5$

Пересекая с условием $-5 \le x < 0$, получаем решение $[-5; 0)$.

Случай 3: $x \in [0; 2)$

В этом интервале $|x| = x$, $|x-2| = -(x-2)$, $|x+5| = x+5$.

$x - 2(-(x-2)) + 3(x+5) \ge 2x$

$x + 2(x-2) + 3x + 15 \ge 2x$

$x + 2x - 4 + 3x + 15 \ge 2x$

$6x + 11 \ge 2x$

$4x \ge -11 \Rightarrow x \ge -2.75$

Пересекая с условием $0 \le x < 2$, получаем решение $[0; 2)$.

Случай 4: $x \in [2; +\infty)$

В этом интервале $|x| = x$, $|x-2| = x-2$, $|x+5| = x+5$.

$x - 2(x-2) + 3(x+5) \ge 2x$

$x - 2x + 4 + 3x + 15 \ge 2x$

$2x + 19 \ge 2x$

$19 \ge 0$

Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[2; +\infty)$.

Объединяя решения из всех случаев, получаем: $(-\infty; -5) \cup [-5; 0) \cup [0; 2) \cup [2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.