Номер 12.30, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.30, страница 99.

Условие.

12.30. При каких значениях параметра $a$ множество корней уравнения $|x - 1| + |x - a| = 1 - a$ содержит три целых числа?

Решение.

Рассмотрим уравнение $|x - 1| + |x - a| = 1 - a$.

Левая часть этого уравнения представляет собой сумму модулей, поэтому она всегда неотрицательна. Следовательно, для существования корней необходимо, чтобы правая часть также была неотрицательной: $1 - a \geq 0 \implies a \leq 1$. При $a > 1$ уравнение не имеет решений.

Воспользуемся геометрической интерпретацией модуля. Выражение $|x - c|$ равно расстоянию на числовой прямой между точками с координатами $x$ и $c$. Тогда левая часть уравнения $|x - 1| + |x - a|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек 1 и $a$.

Рассмотрим два случая, удовлетворяющих условию $a \leq 1$.

1. Если $a = 1$, уравнение принимает вид $|x - 1| + |x - 1| = 1 - 1$, что равносильно $2|x - 1| = 0$. Отсюда следует, что $x = 1$. В этом случае множество корней состоит из одного целого числа $\{1\}$, что не удовлетворяет условию задачи о трёх целых корнях.

2. Если $a < 1$, то расстояние между точками 1 и $a$ равно $|1 - a| = 1 - a$. Уравнение можно переписать в виде $|x - 1| + |x - a| = |1 - a|$. Это равенство (случай равенства в неравенстве треугольника) выполняется тогда и только тогда, когда точка $x$ лежит на отрезке между точками $a$ и 1. Таким образом, множество корней уравнения представляет собой отрезок $[a, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых отрезок $[a, 1]$ содержит ровно три целых числа.

Поскольку правая граница отрезка, число 1, является целым, то оно обязательно входит в множество целых корней. Так как целые числа на отрезке должны быть последовательными, а 1 является наибольшим из них, то этими тремя целыми числами должны быть $-1, 0, 1$.

Чтобы отрезок $[a, 1]$ содержал ровно три целых числа $\{-1, 0, 1\}$, должны выполняться два условия:
- Наименьшее из этих чисел, $-1$, должно принадлежать отрезку. Это означает, что левая граница отрезка должна быть меньше или равна $-1$, то есть $a \leq -1$.
- Следующее по убыванию целое число, $-2$, не должно принадлежать отрезку. Это означает, что левая граница отрезка должна быть строго больше $-2$, то есть $a > -2$.

Объединяя оба условия, получаем $-2 < a \leq -1$. Эти значения $a$ удовлетворяют исходному условию $a < 1$.

Ответ: $a \in (-2, -1]$.