Номер 12.28, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.28, страница 99.

Условие.

12.28. Определите количество корней уравнения в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|3x - 4| = a + x$;

2) $2x - |x| + |x - 1| = a$.

Решение.

1) $|3x-4| = a+x$

Решим данное уравнение с параметром графическим методом. Перепишем уравнение в виде $|3x-4|-x = a$.

Рассмотрим функцию $f(x) = |3x-4|-x$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Для построения графика функции $f(x)$ раскроем модуль. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $3x-4=0 \implies x=4/3$.

1. При $x \ge 4/3$, модуль $|3x-4| = 3x-4$.
Функция принимает вид: $f(x) = (3x-4)-x = 2x-4$.

2. При $x < 4/3$, модуль $|3x-4| = -(3x-4) = 4-3x$.
Функция принимает вид: $f(x) = (4-3x)-x = 4-4x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:
$f(x) = \begin{cases} 4-4x, & \text{если } x < 4/3 \\ 2x-4, & \text{если } x \ge 4/3 \end{cases}$

График этой функции представляет собой два луча, сходящихся в одной точке. Найдем координаты этой точки (вершины), подставив $x=4/3$ в любое из выражений:
$f(4/3) = 2(4/3)-4 = 8/3 - 12/3 = -4/3$.
Вершина графика находится в точке $(4/3, -4/3)$. Это точка минимума функции.

Теперь проанализируем количество пересечений графика $y=f(x)$ с прямой $y=a$ в зависимости от значения параметра $a$:

• Если $a$ меньше минимального значения функции, то есть $a < -4/3$, прямая $y=a$ проходит ниже графика, и пересечений нет. Уравнение не имеет корней.
• Если $a$ равно минимальному значению функции, то есть $a = -4/3$, прямая $y=a$ касается графика в его вершине. Есть одна точка пересечения. Уравнение имеет один корень.
• Если $a$ больше минимального значения функции, то есть $a > -4/3$, прямая $y=a$ пересекает обе ветви графика. Есть две точки пересечения. Уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a < -4/3$, корней нет; если $a = -4/3$, один корень; если $a > -4/3$, два корня.

2) $2x - |x| + |x-1| = a$

Решим задачу графически. Рассмотрим функцию $f(x) = 2x - |x| + |x-1|$. Количество корней уравнения равно числу точек пересечения графика $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Для построения графика раскроем модули. Выражения под модулями обращаются в ноль при $x=0$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка.

1. При $x < 0$:
$|x| = -x$, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$f(x) = 2x - (-x) + (1-x) = 2x+x+1-x = 2x+1$.

2. При $0 \le x < 1$:
$|x| = x$, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$f(x) = 2x - x + (1-x) = x+1-x = 1$.

3. При $x \ge 1$:
$|x| = x$, $|x-1| = x-1$.
$f(x) = 2x - x + (x-1) = x+x-1 = 2x-1$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:
$f(x) = \begin{cases} 2x+1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

График функции состоит из:
- луча $y=2x+1$ на интервале $(-\infty, 0)$, который заканчивается в точке $(0,1)$;
- горизонтального отрезка $y=1$ на отрезке $[0, 1]$;
- луча $y=2x-1$ на интервале $[1, \infty)$, который начинается в точке $(1,1)$.

Проанализируем количество пересечений графика $y=f(x)$ с прямой $y=a$:

• Если $a < 1$, прямая $y=a$ пересекает только левый луч $y=2x+1$. Так как на этом луче $x < 0$, то $y=2x+1 < 1$, поэтому для любого $a<1$ будет ровно одно пересечение. Уравнение имеет один корень.
• Если $a=1$, прямая $y=a$ совпадает с горизонтальным участком графика на отрезке $[0, 1]$. Каждая точка этого отрезка является решением. Уравнение имеет бесконечно много корней.
• Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает только правый луч $y=2x-1$. Так как на этом луче $x \ge 1$, то $y=2x-1 \ge 1$, поэтому для любого $a>1$ будет ровно одно пересечение (значение $y=1$ достигается при $x=1$, которое мы уже рассмотрели). Уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 1$ или $a > 1$, уравнение имеет один корень; если $a = 1$, уравнение имеет бесконечно много корней.